微积分初步

微积分是研究函数的变化规律的重要数学工具，也是高中物理必不可少的数学基础。在高中物理中，我们需要用微积分的思想来理解变化的物理过程。

极限的概念

什么是极限

当一个变量$x$无限趋近于某个确定的值$a$时，函数$f(x)$的值无限趋近于一个确定的常数$A$，我们就说$A$是函数$f(x)$当$x \to a$时的极限，记作：

$\lim_{x \to a} f(x) = A$

物理中的例子

• 当时间间隔$\Delta t$无限趋近于0时，平均速度$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$就无限趋近于瞬时速度$v$

  $v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$

• 当我们把一个运动过程分成无数个非常小的小段，每一小段$\Delta x$就无限趋近于0，这样就可以近似认为是匀速运动。

导数的概念

平均变化率

设函数$y = f(x)$，当自变量$x$从$x_1$变到$x_2$时，$y$从$y_1$变到$y_2$，则：

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

叫做函数$y = f(x)$从$x_1$到$x_2$的平均变化率。

导数的定义

当$\Delta x$趋近于0时，如果平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限存在，这个极限就叫做函数$y = f(x)$在$x$处的导数，记作$y'$或$\frac{dy}{dx}$：

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

导数的几何意义：导数就是函数图像在该点处的切线斜率。

物理意义

在物理学中：

• 位移对时间的导数就是速度：$v = \frac{dx}{dt}$
• 速度对时间的导数就是加速度：$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$
• 动量对时间的导数就是合外力：$F = \frac{dp}{dt}$
• 电场强度是电势对位置的负导数：$E = -\frac{d\varphi}{dx}$

基本导数公式

常见函数的导数：

• 常数函数：若$y = C$（常数），则$\frac{dy}{dx} = 0$
• 幂函数：若$y = x^n$，则$\frac{dy}{dx} = n x^{n-1}$ 例如：$y = x$，$y' = 1$；$y = x^2$，$y' = 2x$；$y = x^3$，$y' = 3x^2$
• 正弦函数：若$y = \sin x$，则$\frac{dy}{dx} = \cos x$
• 余弦函数：若$y = \cos x$，则$\frac{dy}{dx} = -\sin x$
• 指数函数：若$y = e^x$，则$\frac{dy}{dx} = e^x$

导数的运算法则：

• $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• $(Cu)' = C u'$（C是常数）
• $(uv)' = u'v + uv'$
• $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

定积分的概念

分割求和思想

求变速直线运动的位移：

1. 分割：把时间区间$[t_1, t_2]$分成许多很小的时间段$\Delta t_i$
2. 近似代替：在每个小区间内，速度近似不变，可以用$v_i \cdot \Delta t_i$近似表示这段时间的位移
3. 求和：把所有近似位移加起来，得到总位移的近似值$\Delta x \approx \sum v_i \Delta t_i$
4. 取极限：当分割越来越细，每个$\Delta t_i$都趋近于0时，总和就趋近于准确的位移

定积分的定义

设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，将$[a, b]$分成$n$个小区间，每个小区间长度为$\Delta x$，在每个小区间上任取一点$\xi_i$，作和式：

$S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x$

当$n \to \infty$时，如果和式的极限存在，这个极限叫做函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的定积分，记作：

$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x$

几何意义：定积分$\int_a^b f(x) dx$表示曲线$y = f(x)$、直线$x=a$、$x=b$和x轴围成的曲边梯形的面积的代数和（x轴上方为正，下方为负）。

物理意义

在物理学中：

• 速度对时间的定积分就是位移：$x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$
• 加速度对时间的定积分就是速度变化：$\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a(t) dt$
• 力对位移的定积分就是功：$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$
• 电流对时间的定积分就是电荷量：$q = \int_{t_1}^{t_2} I(t) dt$

微积分基本定理

如果$F'(x) = f(x)$，且$f(x)$在$[a, b]$上连续，则：

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

这个定理告诉我们：求定积分就是求导数的逆运算。只要找到一个函数$F(x)$，它的导数是$f(x)$，那么定积分的值就是$F(b) - F(a)$。

$F(x)$叫做$f(x)$的一个原函数。

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练习题

导数计算

1. 求下列函数的导数： (1) $y = x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ (2) $y = x^2 \sin x$ (3) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

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   (1) 根据加法法则和幂函数导数公式：

   $y' = 3x^{2} - 2 \cdot 2x + 3 \cdot 1 - 0 = 3x^2 - 4x + 3$

   (2) 根据乘积法则：

   $y' = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$

   (3) 根据商的法则：

   $y' = \frac{(x)'(x^2 + 1) - x (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

2. 已知质点的运动方程为$x = 2t^2 + 3t + 1$（x单位：米，t单位：秒），求t=2秒时的瞬时速度和加速度。

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   速度是位移对时间的导数：

   $v = \frac{dx}{dt} = 4t + 3$

   加速度是速度对时间的导数：

   $a = \frac{dv}{dt} = 4 \text{ m/s}^2$

   t=2秒时：

   $v = 4 \times 2 + 3 = 11 \text{ m/s}$

   $a = 4 \text{ m/s}^2$

   答：t=2秒时速度为11 m/s，加速度为4 m/s²。

积分计算

3. 计算定积分： (1) $\int_0^1 x^2 dx$ (2) $\int_0^\pi \sin x dx$

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   (1) 因为$(\frac{x^3}{3})' = x^2$，根据微积分基本定理：

   $\int_0^1 x^2 dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

   (2) 因为$(-\cos x)' = \sin x$，所以：

   $\int_0^\pi \sin x dx = -\cos x \bigg|_0^\pi = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

4. 已知物体运动的速度为$v = 4t - 2$（m/s），求从t=1秒到t=3秒物体经过的位移。

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   位移$x = \int_1^3 v(t) dt = \int_1^3 (4t - 2) dt$

   找到原函数：因为$(2t^2 - 2t)' = 4t - 2$，所以：

   $x = (2t^2 - 2t) \bigg|_1^3 = (2 \times 3^2 - 2 \times 3) - (2 \times 1^2 - 2 \times 1)$

   $= (18 - 6) - (2 - 2) = 12 - 0 = 12 \text{ m}$

   答：位移为12米。

5. 物体做直线运动，加速度$a = 2t$（m/s²），初速度$v_0 = 0$，求从t=0到t=3秒速度的变化量，并求t=3秒时的速度。

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   速度变化量$\Delta v = \int_0^3 a(t) dt = \int_0^3 2t dt$

   原函数是$t^2$，所以：

   $\Delta v = t^2 \bigg|_0^3 = 3^2 - 0^2 = 9 \text{ m/s}$

   因为初速度$v_0 = 0$，所以t=3秒时：

   $v = v_0 + \Delta v = 0 + 9 = 9 \text{ m/s}$

   答：速度变化量为9 m/s，t=3秒时速度为9 m/s。

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相关知识点

• 矢量基础
• 坐标系与函数