矢量基础

什么是矢量

在物理学中，我们遇到的物理量可以分为两类：标量和矢量。

标量

只有大小、没有方向的物理量叫做标量。

例如：

• 质量：如一个苹果质量100g，只有大小，没有方向
• 温度：如室温25°C，只有高低，没有方向
• 路程：物体运动轨迹的长度，只有大小，没有方向
• 时间、能量、密度等都是标量

标量可以直接用算术法则进行加减运算。

矢量

既有大小，又有方向，并且相加时遵循平行四边形定则的物理量叫做矢量。

例如：

• 位移：从起点到终点，不仅有距离，还有方向
• 速度：物体运动不仅有快慢，还有方向
• 力：力不仅有大小，还有方向
• 加速度、动量、电场强度等都是矢量

矢量的表示

几何表示

矢量可以用一条带箭头的线段来表示：

• 线段的长度表示矢量的大小
• 箭头的方向表示矢量的方向
• 线段的起点（或终点）表示矢量的作用点

符号表示

在印刷中，矢量通常用粗体字母表示，如 $\boldsymbol{v}$、$\boldsymbol{F}$、$\boldsymbol{a}$。

在手写中，通常在字母上方加箭头表示，如 $\vec{v}$、$\vec{F}$。

矢量的大小叫做矢量的模，用 $|\boldsymbol{v}|$ 表示，它是一个标量。

矢量的相等与相反

相等矢量

如果两个矢量大小相等，方向相同，我们就说这两个矢量相等。

矢量相等与起点位置无关，只看大小和方向。这种可以平行移动的矢量叫做自由矢量，物理学中我们研究的大多是自由矢量。

相反矢量

如果两个矢量大小相等，方向相反，我们就说其中一个是另一个的相反矢量，记作 $-\boldsymbol{A}$。

矢量的加法

两个矢量相加得到一个新的矢量，叫做合矢量。矢量相加遵循平行四边形定则。

平行四边形定则

将两个矢量平移到同一起点，以这两个矢量为邻边作平行四边形，从起点出发的对角线就表示合矢量。这个方法叫做平行四边形定则。

三角形定则

将第二个矢量的起点移到第一个矢量的终点，从第一个矢量的起点指向第二个矢量终点的矢量就是合矢量。三角形定则是平行四边形定则的简化。

特殊情况

1. 同向矢量相加：当两个矢量方向相同时，合矢量大小等于两个矢量大小之和，方向与原方向相同：

   $|\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{A}| + |\boldsymbol{B}|$

2. 反向矢量相加：当两个矢量方向相反时，合矢量大小等于两个矢量大小之差，方向与较大矢量方向相同：

   $|\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}| = ||\boldsymbol{A}| - |\boldsymbol{B}||$

矢量的减法

矢量减法可以转化为加法：减去一个矢量等于加上它的相反矢量。

$\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} + (-\boldsymbol{B})$

作法：将两个矢量平移到同一起点，从减矢量的终点指向被减矢量的终点的矢量就是差矢量。

在直角坐标系中表示矢量

当矢量放在直角坐标系中时，我们可以用分量来表示矢量。

设矢量 $\boldsymbol{A}$ 的起点在原点，终点坐标为 $(A_x, A_y)$，则：

• $A_x$ 是矢量在x轴上的分量
• $A_y$ 是矢量在y轴上的分量

矢量大小：

$|\boldsymbol{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$

矢量方向：设矢量与x轴正方向夹角为 $\theta$，则

$\tan\theta = \frac{A_y}{A_x}$

两个矢量相加，分量分别相加： 如果 $\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}$，则

$C_x = A_x + B_x$

$C_y = A_y + B_y$

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练习题

概念题

1. 判断下列物理量哪些是矢量，哪些是标量： 质量、位移、速度、温度、力、路程、时间、加速度、密度、动量

   查看答案

   矢量：位移、速度、力、加速度、动量

   标量：质量、温度、路程、时间、密度

   解析：这些矢量都既有大小又有方向，而标量只有大小没有方向。

2. 关于矢量，下列说法正确的是：

   • A. 只有大小没有方向的量一定是标量
   • B. 只有大小方向都相同的矢量才相等
   • C. 两个矢量只要大小相等，方向相反，就是相反矢量
   • D. 位移是矢量，路程也是矢量
   查看答案

   答案：A、B、C

   解析：

   • A正确，标量定义就是只有大小没有方向
   • B正确，矢量相等要求大小和方向都相同
   • C正确，大小相等方向相反就是相反矢量
   • D错误，位移是矢量，但路程是标量

计算题

3. 一个人向东走了30m，又向北走了40m，求此人的总位移大小和方向。

   查看解答

   建立坐标系：向东为x轴正方向，向北为y轴正方向。

   第一段位移：$\boldsymbol{s_1} = (30, 0)$ m 第二段位移：$\boldsymbol{s_2} = (0, 40)$ m

   总位移分量：

   $s_x = 30 + 0 = 30 \text{ m}$

   $s_y = 0 + 40 = 40 \text{ m}$

   总位移大小：

   $|\boldsymbol{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ m}$

   方向：设位移方向与正东方向夹角为$\theta$，则

   $\tan\theta = \frac{s_y}{s_x} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$

   $\theta \approx 53^\circ$

   答：总位移大小为50m，方向东偏北约53°。

4. 已知矢量$\boldsymbol{A}$大小为5，方向沿x轴正方向；矢量$\boldsymbol{B}$大小为3，方向沿x轴负方向。求合矢量$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}$的大小和方向。

   查看解答

   方法一：直接计算 $\boldsymbol{A}$分量：$A_x = 5$, $A_y = 0$$\boldsymbol{B}$分量：$B_x = -3$, $B_y = 0$

   合矢量分量：

   $C_x = A_x + B_x = 5 + (-3) = 2$

   $C_y = A_y + B_y = 0 + 0 = 0$

   合矢量大小：$|\boldsymbol{C}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$ 方向：沿x轴正方向

   方法二：因为方向相反，直接用大小相减

   $|\boldsymbol{C}| = |5 - 3| = 2$

   方向与较大矢量$\boldsymbol{A}$相同，即x轴正方向。

   答：合矢量大小为2，方向沿x轴正方向。

5. 已知矢量$\boldsymbol{A} = (3, 4)$，矢量$\boldsymbol{B} = (-1, 2)$，求$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}$和$\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}$的分量和大小。

   查看解答

   计算$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}$：

   $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})_x = 3 + (-1) = 2$

   $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})_y = 4 + 2 = 6$

   $|\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.32$

   计算$\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}$：

   $(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B})_x = 3 - (-1) = 4$

   $(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B})_y = 4 - 2 = 2$

   $|\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$

   答：$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = (2, 6)$，大小约为6.32；$\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B} = (4, 2)$，大小约为4.47。

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相关知识点

• 坐标系与函数
• 微积分初步