坐标系与函数

坐标系是将几何问题代数化、将物理量之间的关系图形化的重要工具。在物理学中，我们经常用坐标系来描述物体的位置、运动规律和物理量之间的函数关系。

平面直角坐标系

基本概念

在平面上画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系。

• 水平的数轴叫做x轴（横轴），取向右为正方向
• 竖直的数轴叫做y轴（纵轴），取向上为正方向
• 两坐标轴的交点叫做坐标原点
• 坐标系所在的平面叫做坐标平面

坐标平面被坐标轴分成四个部分，每个部分叫做一个象限，按逆时针方向依次为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。

点的坐标

平面内任意一点P的位置可以用一对有序实数$(x, y)$来表示：

• x叫做点P的横坐标，表示点到y轴的距离
• y叫做点P的纵坐标，表示点到x轴的距离

距离公式

两点$A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$之间的距离：

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

点$P(x, y)$到原点的距离：

$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$

函数的概念

定义

设在一个变化过程中有两个变量$x$与$y$，如果对于$x$的每一个确定的值，$y$都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说$y$是$x$的函数，$x$是自变量。

表示方法

函数有三种表示方法：

1. 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，如$y = 2x + 1$
2. 列表法：用表格表示两个变量之间的函数关系
3. 图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系

图像法的优点

在物理学中，我们经常用图像来直观地表示物理量之间的关系：

• $x-t$图像（位移-时间图像）
• $v-t$图像（速度-时间图像）
• $F-x$图像（力-位移图像）
• $P-V$图像（压强-体积图像）

常见函数类型

一次函数

函数形式：$y = kx + b$（$k \neq 0$）

• 图像是一条直线
• $k$是斜率，表示直线的倾斜程度，决定y随x变化的快慢
• $b$是截距，表示x=0时y的值
• 当$b = 0$时，$y = kx$，叫做正比例函数，图像过原点

斜率的物理意义：在$x-t$图像中，斜率就是速度；在$v-t$图像中，斜率就是加速度。

二次函数

函数形式：$y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）

• 图像是抛物线
• 当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下
• 顶点坐标：$\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$
• 对称轴：直线$x = -\frac{b}{2a}$

匀变速直线运动的位移公式就是二次函数：

$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$

反比例函数

函数形式：$y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$），即$xy = k$

• 图像是双曲线
• 当$k > 0$时，图像在第一、三象限
• 当$k < 0$时，图像在第二、四象限

理想气体的等温过程遵循反比例关系：PV = nRT = 常数。

正弦函数

函数形式：$y = A \sin(\omega x + \varphi)$

• $A$是振幅，表示最大值
• $\omega$是角频率，决定周期$T = \frac{2\pi}{\omega}$
• $\varphi$是初相位

简谐运动、机械波、交流电都遵循正弦规律。

函数图像在物理中的应用

从图像中读取信息

1. 确定坐标轴：看清横坐标和纵坐标分别代表什么物理量
2. 读出特殊点：起点、终点、交点、极值点、截距
3. 计算斜率：斜率往往代表一个重要的物理量
4. 计算面积：图像与坐标轴围成的面积往往也代表一个物理量

常见物理图像的斜率和面积

图像	横坐标	纵坐标	斜率的物理意义	面积的物理意义
$x-t$图像	$t$	$x$	速度$v = \frac{dx}{dt}$	-
$v-t$图像	$t$	$v$	加速度$a = \frac{dv}{dt}$	位移$x = \int v dt$
$a-t$图像	$t$	$a$	加加速度$j = \frac{da}{dt}$	速度变化$\Delta v = \int a dt$
$F-x$图像	$x$	$F$	劲度系数变化$\frac{dF}{dx}$	功$W = \int F dx$
$P-V$图像	$V$	$P$	-	功$W = \int P dV$

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练习题

坐标计算

1. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B(-1, 7)，求A、B两点之间的距离。

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   根据距离公式：

   $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

   代入$x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = -1, y_2 = 7$：

   $AB = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

   答：A、B两点距离为5。

函数概念

2. 已知一次函数$y = kx + b$经过点(0, 2)和(3, 5)，求这个一次函数的表达式。

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   因为经过点(0, 2)，代入得：

   $2 = k \cdot 0 + b \implies b = 2$

   又因为经过点(3, 5)，代入得：

   $5 = 3k + 2 \implies 3k = 3 \implies k = 1$

   所以函数表达式为$y = x + 2$。

   验证：x=0时y=2，正确；x=3时y=5，正确。

3. 已知二次函数$y = x^2 - 4x + 3$，求： (1) 顶点坐标 (2) 与x轴的交点坐标 (3) 画出函数图像的大致形状

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   (1) $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$ 顶点横坐标：

   $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$

   顶点纵坐标：

   $y = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \times 1 \times 3 - (-4)^2}{4 \times 1} = \frac{12 - 16}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

   顶点坐标为(2, -1)

   (2) 令y=0，解方程$x^2 - 4x + 3 = 0$ 因式分解得：$(x - 1)(x - 3) = 0$ 解得：$x_1 = 1$, $x_2 = 3$ 所以与x轴交点坐标为(1, 0)和(3, 0)

   (3) 因为a=1 > 0，开口向上，顶点在(2, -1)，与x轴交于(1, 0)和(3, 0)，与y轴交于(0, 3)，据此可画出抛物线。

物理应用

4. 一辆汽车做匀加速直线运动，初速度$v_0 = 2$ m/s，加速度$a = 3$ m/s²，请写出位移x关于时间t的函数表达式，并计算t=4秒时的位移。

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   匀变速直线运动位移公式：

   $x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$

   代入$v_0 = 2$, $a = 3$：

   $x = 2t + \frac{1}{2} \times 3 t^2 = 1.5 t^2 + 2t$

   这是一个二次函数。当t=4秒时：

   $x = 1.5 \times 4^2 + 2 \times 4 = 1.5 \times 16 + 8 = 24 + 8 = 32 \text{ m}$

   答：函数表达式为$x = 1.5t^2 + 2t$，t=4秒时位移为32米。

5. 在物体的v-t图像中，横坐标表示时间t（秒），纵坐标表示速度v（m/s）。已知物体从t=0到t=5秒的速度规律是$v = 2t$，求： (1) 计算物体在这5秒内的位移 (2) 用几何方法求v-t图像下的面积，验证结果

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   (1) 位移是速度对时间的积分：

   $x = \int_0^5 v(t) dt = \int_0^5 2t dt = t^2 \bigg|_0^5 = 5^2 - 0^2 = 25 \text{ m}$

   (2) v-t图像是一条过原点的直线，斜率为2。从t=0到t=5，图像下的面积是一个直角三角形：

   • 底：t = 5 s
   • 高：v = 2 × 5 = 10 m/s
   • 面积：S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25 \text{ m}

   两种方法结果一致，验证正确。

   答：位移为25米。

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相关知识点

• 矢量基础
• 微积分初步