曲线运动 平抛运动

曲线运动

曲线运动的速度方向

物体做曲线运动时，某一点的速度方向就是曲线在该点的切线方向。

由于曲线运动中速度方向不断改变，所以曲线运动一定是变速运动（因为速度是矢量，方向改变意味着速度改变，一定有加速度）。

物体做曲线运动的条件

当物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。

从加速度角度看：当加速度方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。

规律总结：

• 若合外力（或加速度）与速度共线 → 直线运动
  • 同向：加速直线运动
  • 反向：减速直线运动
• 若合外力（或加速度）与速度不共线 → 曲线运动

曲线运动的性质

• 速度方向不断变化，所以曲线运动一定是变速运动
• 合外力不一定变化：可以是恒力，也可以是变力
• 加速度不一定变化：可以是匀变速曲线运动（合外力恒定），也可以是变加速曲线运动（合外力变化）

---

运动的合成与分解

合运动与分运动

一个物体同时参与几个运动，这些运动叫做分运动，实际的合运动就是物体的实际运动。

合运动与分运动的关系：

1. 独立性：各个分运动独立进行，互不影响
2. 等时性：合运动与分运动经历的时间相等，同时开始、同时进行、同时结束
3. 等效性：合运动的效果与各个分运动共同作用的效果相同，可以相互替代

运动的合成与分解

已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。

运动的合成与分解遵循平行四边形定则，因为位移、速度、加速度都是矢量。

合成法则：

• 位移合成：$\boxed{s} = \boxed{s}_1 + \boxed{s}_2$
• 速度合成：$\boxed{v} = \boxed{v}_1 + \boxed{v}_2$
• 加速度合成：$\boxed{a} = \boxed{a}_1 + \boxed{a}_2$

两个直线运动的合运动性质判断

两个直线运动的合运动轨迹取决于合加速度与合速度的方向关系：

• 若合加速度与合速度共线 → 直线运动
• 若合加速度与合速度不共线 → 曲线运动

常见情况：

1. 两个匀速直线运动 → 合运动一定是匀速直线运动
2. 一个匀速直线运动 + 一个匀变速直线运动 → 合运动一定是匀变速曲线运动（如果不共线）
3. 两个匀变速直线运动：
   • 若合加速度与合速度共线 → 匀变速直线运动
   • 若合加速度与合速度不共线 → 匀变速曲线运动

---

平抛运动

平抛运动的定义和条件

定义： 将物体以一定的初速度水平抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下的运动叫做平抛运动。

条件：

1. 初速度 (v_0 \neq 0)，且沿水平方向
2. 只受重力作用

平抛运动的性质

平抛运动是匀变速曲线运动，因为加速度 (a = g)（重力加速度）恒定不变。

平抛运动的研究方法

采用运动的合成与分解方法：

• 水平方向：不受力，做匀速直线运动
• 竖直方向：初速度为0，只受重力，做自由落体运动

平抛运动的规律

建立坐标系：以抛出点为原点，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向。

速度公式：

• 水平分速度：(v_x = v_0)
• 竖直分速度：(v_y = gt)
• 合速度大小：(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2})
• 合速度方向：(\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{gt}{v_0}) （(\theta) 为速度与水平方向夹角）

位移公式：

• 水平位移：(x = v_0 t)
• 竖直位移：(y = \frac{1}{2} g t^2)
• 合位移大小：(s = \sqrt{x^2 + y^2})
• 合位移方向：(\tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{gt}{2v_0}) （(\alpha) 为位移与水平方向夹角）

轨迹方程： 由 (x = v_0 t) 得 (t = \frac{x}{v_0})，代入 (y = \frac{1}{2} g t^2) 得：

$y = \frac{g}{2v_0^2} x^2$

这是抛物线方程，说明平抛运动的轨迹是抛物线。

重要推论

1. 速度偏角与位移偏角的关系：

   $\tan\theta = 2 \tan\alpha$

2. 速度反向延长线过水平位移中点： 做平抛运动的物体，任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。即：若水平位移为 (x)，则反向延长线与x轴交点到该位置的水平距离为 (\frac{x}{2})。

3. 任意相等时间间隔 (\Delta t) 内，速度变化量 (\Delta v = g \Delta t)，方向竖直向下。

斜抛运动（简介）

斜抛运动是初速度斜向上或斜向下，只受重力的运动。同样可以分解：

• 水平方向：匀速直线运动
• 竖直方向：竖直上抛或竖直下抛运动

---

练习题

选择题

1. 关于曲线运动，下列说法正确的是：

   • A. 曲线运动一定是变速运动
   • B. 曲线运动的加速度一定变化
   • C. 曲线运动的速度方向不断变化，所以加速度也一定不断变化
   • D. 物体做曲线运动时，合外力一定不为零
   查看答案

   答案：A、D

   解析：曲线运动速度方向一定改变，所以一定是变速运动，合外力一定不为零，A、D正确。当合外力恒定时，加速度恒定，可以是匀变速曲线运动（如平抛运动），所以加速度不一定变化，B、C错误。

2. 关于平抛运动，下列说法正确的是：

   • A. 平抛运动是匀变速运动
   • B. 平抛运动是变加速运动
   • C. 平抛运动的加速度是重力加速度 (g)
   • D. 平抛运动的水平位移只与初速度有关
   查看答案

   答案：A、C

   解析：平抛运动只受重力，加速度恒定为 (g)，所以是匀变速曲线运动，A、C正确，B错误。水平位移 (x = v_0 t = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}})，与初速度 (v_0) 和下落高度 (h) 都有关，D错误。

3. 一个物体以初速度 (v_0) 水平抛出，经过时间 (t) 时，竖直方向的速度大小为 (v_y)，则 (t) 等于：

   • A. (\frac{v_0}{g})
   • B. (\frac{v_y}{g})
   • C. (\frac{2v_0}{g})
   • D. (\frac{2v_y}{g})
   查看答案

   答案：B

   解析：竖直方向做自由落体运动，(v_y = gt)，所以 (t = \frac{v_y}{g})，选B。

计算题

1. 从高度为 (h = 45 \text{ m}) 的平台上，以初速度 (v_0 = 20 \text{ m/s}) 水平抛出一个物体，求：(g = 10 m/s²)

   • (1) 物体在空中运动的时间
   • (2) 物体落地点到抛出点的水平距离
   • (3) 物体落地时的速度大小和方向
   查看解答

   (1) 竖直方向自由落体运动：

   $h = \frac{1}{2} g t^2$

   $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 45}{10}} = \sqrt{9} = 3\ \text{s}$

   (2) 水平方向匀速直线运动：

   $x = v_0 t = 20 \times 3 = 60\ \text{m}$

   (3) 落地时竖直分速度：

   $v_y = gt = 10 \times 3 = 30\ \text{m/s}$

   合速度大小：

   $v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{1300} \approx 36.1\ \text{m/s}$

   设速度与水平方向夹角为 (\theta)：

   $\tan\theta = \frac{v_y}{v_0} = \frac{30}{20} = 1.5$

   $\theta \approx 56.3^\circ$

   答：(1) 运动时间为 3 s；(2) 水平距离为 60 m；(3) 落地速度大小约为 36.1 m/s，方向与水平方向成约 56.3° 向下。

2. 如图所示，在倾角为 37° 的斜面顶端 A 点，以初速度 (v_0 = 10 \text{ m/s}) 水平抛出一个物体，物体落在斜面上的 B 点，不计空气阻力，求：

   • (1) 抛出后经多长时间物体落在斜面上
   • (2) AB 间的距离 (g = 10 m/s²)
   查看解答

   设运动时间为 (t)，水平位移 (x = v_0 t)，竖直位移 (y = \frac{1}{2} g t^2)。

   物体落在斜面上，位移与水平方向夹角等于斜面倾角：

   $\tan 37^\circ = \frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{2} g t^2}{v_0 t} = \frac{gt}{2v_0}$

   (\tan 37^\circ = \frac{3}{4})，代入得：

   $\frac{3}{4} = \frac{10 t}{2 \times 10} = \frac{t}{2}$

   $t = 1.5\ \text{s}$

   AB 间距离 (L)：

   $L = \frac{x}{\cos 37^\circ} = \frac{v_0 t}{\cos 37^\circ} = \frac{10 \times 1.5}{0.8} = 18.75\ \text{m}$

   答：(1) 1.5 s 后物体落在斜面上；(2) AB 间距离为 18.75 m。

---

相关知识点

• 运动的描述
• 匀变速直线运动
• 重力 弹力 摩擦力
• 力的合成与分解
• 牛顿三定律