物理知识体系

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连接体问题 ​

连接体的概念 ​

两个或多个物体通过绳子、轻杆、接触面等相互连接在一起运动，这样的物体组叫做连接体。

常见连接体类型：

  • 叠放连接：一个物体叠放在另一个物体上
  • 绳子连接：两个物体通过不可伸长的轻绳相连
  • 轻杆连接：两个物体通过刚性轻杆相连
  • 弹簧连接：两个物体通过弹簧相连

处理连接体问题的基本方法 ​

1. 整体法 ​

把连接体中所有物体看成一个整体，分析整体的受力，用牛顿第二定律求出整体的加速度。

适用情况：

  • 连接体中各物体加速度相同（大小、方向都相同）
  • 只需要求整体加速度，不需要求物体之间的相互作用力

优点： 比较简单，不需要考虑内力。

2. 隔离法 ​

把要研究的某个物体从连接体中隔离出来，单独分析这个物体的受力，再用牛顿第二定律列方程求解。

适用情况：

  • 需要求物体之间的相互作用力（内力）
  • 各物体加速度不同

优点： 可以求出内力，处理更复杂问题。

3. 整体法与隔离法结合 ​

  • 先用整体法求出加速度
  • 再用隔离法求出物体间的相互作用力

这是处理加速度相同连接体问题的最常用方法。

常见连接体问题类型 ​

类型一：水平面连接体，外力作用在一个物体上 ​

例题模型： 水平面上有两个物体 (m_1) 和 (m_2) 靠在一起，用水平力 (F) 推 (m_1)，求加速度和两物体间作用力。

如果水平面光滑：

  • 整体：(F = (m_1 + m_2) a )，得 (a = \frac{F}{m_1 + m_2})
  • 隔离 (m_2)：(N = m_2 a = \frac{m_2 F}{m_1 + m_2})，(N) 是 (m_1) 对 (m_2) 的弹力。

如果水平面粗糙，动摩擦因数都是 (\mu)：

  • 整体：(F - \mu m_1 g - \mu m_2 g = (m_1 + m_2) a ) (F - \mu (m_1 + m_2) g = (m_1 + m_2) a ) 得 (a = \frac{F}{m_1 + m_2} - \mu g)

  • 隔离 (m_2)：(N - \mu m_2 g = m_2 a) 代入得 (N = \mu m_2 g + m_2 a = \frac{m_2 F}{m_1 + m_2})

发现：**动摩擦因数相同时，两物体间弹力与动摩擦因数无关，结果仍为 (N = \frac{m_2 F}{m_1 + m_2})。

类型二：绳子连接体，沿水平面运动 ​

例题模型： 水平面上 (m_1) 和 (m_2) 用轻绳相连，用水平力 (F) 拉 (m_1)，求加速度和绳的拉力。

水平面光滑：

  • 整体：(F = (m_1 + m_2) a )，(a = \frac{F}{m_1 + m_2})
  • 隔离 (m_2)：(T = m_2 a = \frac{m_2 F}{m_1 + m_2})

结果与上面例子类似。

类型三：连接体沿斜面运动 ​

连接体一起沿斜面加速，分析方法类似：

  1. 整体法求加速度
  2. 隔离法求相互作用力

结论：如果各物体与斜面间动摩擦因数相同，相互作用力与动摩擦因数无关。

类型四：悬挂连接体（连接体加速度不同） ​

当连接体中两个物体加速度大小相同、方向不同时，需要分别隔离列方程，联立求解。

例题模型： 跨过定滑轮绳子连接 (m_1) 和 (m_2)，求加速度和绳拉力。

分别隔离：

  • (m_1)（假设向下加速）：(m_1 g - T = m_1 a)
  • (m_2)（向上加速）：(T - m_2 g = m_2 a)

相加：((m_1 - m_2) g = (m_1 + m_2) a) 得：(a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g) 拉力：(T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g)

连接体问题的一般步骤 ​

  1. 判断各物体加速度是否相同（大小和方向）
  2. 如果加速度相同：先用整体法求加速度，再隔离求内力
  3. 如果加速度不同：分别隔离每个物体，各自应用牛顿第二定律列方程，联立求解
  4. 注意绳子不可伸长意味着：连接在绳两端的物体沿绳方向分速度大小相等，沿绳方向分加速度大小相等

临界问题——恰好不相对滑动 ​

连接体中两物体叠放，当外力增大到一定程度，两物体间静摩擦力达到最大值，此时如果外力再增大，两物体就会发生相对滑动。这个临界点就是最大静摩擦力提供加速度。

处理方法：

  1. 临界点：静摩擦力达到最大值 (f_{\text{max}} = \mu_s N)
  2. 先整体求最大加速度 (a_{\text{max}})（由最大静摩擦力提供）
  3. 再求最大外力 (F_{\text{max}} = (m_1 + m_2) a_{\text{max}})

练习题 ​

选择题 ​

  1. 水平面上两个物体 (m_1 = 1\ \text{kg})，(m_2 = 2\ \text{kg}) 靠在一起，受到水平推力 (F = 6\ \text{N}) 作用在 (m_1) 上，水平面光滑，则 (m_1) 对 (m_2) 的弹力大小为：

    • A. 6 N
    • B. 4 N
    • C. 2 N
    • D. 1 N
    查看答案 答案：B

    解析：整体 (a = \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{6}{1+2} = 2\ \text{m/s}^2)，隔离 (m_2)，(N = m_2 a = 2 \times 2 = 4\ \text{N})，选B。

  2. 关于整体法和隔离法，下列说法正确的是：

    • A. 整体法只分析外力，不分析内力
    • B. 隔离法只分析研究对象受到的所有力，包括内力和外力
    • C. 只要连接体加速度相同，一定先用整体法
    • D. 求内力时必须用隔离法
    查看答案 答案：A、B、D

    解析：整体法把多个物体看成一个整体，只考虑外力，不考虑内力，A正确；隔离法把单个物体隔离，分析这个物体受到的所有力，B正确；加速度相同也可以都用隔离法，不一定必须先用整体法，C错；求内力必须隔离，D正确。

计算题 ​

  1. 如图，水平面上 (m_1 = 4\ \text{kg}) 和 (m_2 = 2\ \text{kg}) 用轻绳相连，水平面与两物体间动摩擦因数都是 (\mu = 0.1)，用水平拉力 (F = 12\ \text{N}) 向右拉 (m_1)，求：(1) 两物体的加速度；(2) 绳的拉力大小。(g = 10 m/s²)

    查看解答

    (1) 整体法： 整体受力：拉力 (F)，两个摩擦力 (f_1 = \mu m_1 g)，(f_2 = \mu m_2 g)。

    (F - f_1 - f_2 = (m_1 + m_2) a) (F - \mu m_1 g - \mu m_2 g = (m_1 + m_2) a) (a = \frac{F - \mu g (m_1 + m_2)}{m_1 + m_2} = \frac{F}{m_1 + m_2} - \mu g)

    代入数值： (a = \frac{12}{4+2} - 0.1 \times 10 = 2 - 1 = 1\ \text{m/s}^2)

    (2) 隔离 (m_2)： (T - \mu m_2 g = m_2 a) (T = m_2 (a + \mu g) = 2 \times (1 + 0.1 \times 10) = 2 \times 2 = 4\ \text{N})

    或用公式 (T = \frac{m_2 F}{m_1 + m_2} = \frac{2 \times 12}{6} = 4\ \text{N})，结果一致。

    答：加速度 (1\ \text{m/s}^2)，拉力 (4\ \text{N})。

  2. 如图，倾角为 (\theta = 37^\circ) 的斜面上，两个物体 (m_1 = 2\ \text{kg})，(m_2 = 3\ \text{kg})，(m_1) 与斜面间动摩擦因数 (\mu_1 = 0.2)，(m_2) 与斜面间动摩擦因数 (\mu_2 = 0.3)，用平行于斜面的力 (F = 40\ \text{N}) 沿斜面向上推 (m_1)，(m_1) 和 (m_2) 一起向上运动，求：(1) 加速度；(2) (m_1) 和 (m_2) 之间的弹力。(g = 10 m/s², sin37°=0.6, cos37°=0.8)

    查看解答

    (1) 整体受力分析：推力 (F)，重力分力 ((m_1 + m_2) g \sin\theta)，两个摩擦力。

    摩擦力：(f_1 = \mu_1 m_1 g \cos\theta)，(f_2 = \mu_2 m_2 g \cos\theta)

    由牛顿第二定律： (F - (m_1 + m_2) g \sin\theta - \mu_1 m_1 g \cos\theta - \mu_2 m_2 g \cos\theta = (m_1 + m_2) a)

    代入数值： (F = 40) ((m_1 + m_2) g \sin\theta = 5 \times 10 \times 0.6 = 30\ \text{N}) (\mu_1 m_1 g \cos\theta = 0.2 \times 2 \times 10 \times 0.8 = 3.2\ \text{N}) (\mu_2 m_2 g \cos\theta = 0.3 \times 3 \times 10 \times 0.8 = 7.2\ \text{N})

    左边：(40 - 30 - 3.2 - 7.2 = -0.4) (-0.4 = 5 a) (a = -0.08\ \text{m/s}^2)

    负号表示加速度方向沿斜面向下，即物体做减速运动。

    (2) 隔离 (m_2)，设 (m_1) 对 (m_2) 弹力为 (N)，沿斜面向上： (N - m_2 g \sin\theta - \mu_2 m_2 g \cos\theta = m_2 a)

    (N = m_2 g \sin\theta + \mu_2 m_2 g \cos\theta + m_2 a) ( = 3 \times 10 \times 0.6 + 7.2 + 3 \times (-0.08)) ( = 18 + 7.2 - 0.24 = 24.96\ \text{N} \approx 25\ \text{N})

    答：加速度大小约 0.08 m/s²，方向沿斜面向下；弹力约 25 N，方向沿斜面向上。

  3. 物体 (A) 质量 (M = 5\ \text{kg}) 放在光滑水平桌面上，物体 (B) 质量 (m = 1\ \text{kg}) 通过跨过定滑轮的轻绳与 (A) 相连，不计滑轮和绳质量，求释放后两物体的加速度和绳的拉力。(g = 10 m/s²)

    查看解答

    设加速度为 (a)，绳拉力为 (T)。

    对 (A)：水平方向只受拉力 (T)，所以 (T = M a)

    对 (B)：竖直方向受重力 (mg) 和拉力 (T)，向下加速：(mg - T = m a)

    联立： (mg = (M + m) a) (a = \frac{mg}{M + m} = \frac{1 \times 10}{5 + 1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.67\ \text{m/s}^2)

    拉力 (T = M a = 5 \times \frac{5}{3} = \frac{25}{3} \approx 8.33\ \text{N})

    答：加速度约 1.67 m/s²，拉力约 8.33 N。

  4. 木板 (A) 质量 (M = 2\ \text{kg}) 放在光滑水平面上，木块 (B) 质量 (m = 1\ \text{kg}) 放在 (A) 上，(A)、(B) 间动摩擦因数 (\mu = 0.2)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力 (F) 拉 (B)，要使 (A)、(B) 不发生相对滑动，求 (F) 的最大值。(g = 10 m/s²)

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    (A)、(B) 恰好不滑动时，(A)、(B) 间静摩擦力达到最大值，此时 (F) 最大。

    (B) 对 (A) 的最大静摩擦力：(f_{\text{max}} = \mu mg = 0.2 \times 1 \times 10 = 2\ \text{N})

    对 (A)：这个摩擦力提供加速度，(f_{\text{max}} = M a_{\text{max}})

    (a_{\text{max}} = \frac{f_{\text{max}}}{M} = \frac{2}{2} = 1\ \text{m/s}^2)

    整体：(F_{\text{max}} = (M + m) a_{\text{max}} = (2 + 1) \times 1 = 3\ \text{N})

    所以 (F) 不超过 3 N 时，A、B 不相对滑动。

    答：(F) 最大值为 3 N。

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