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功和功率
功的概念
功的定义
一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。
做功的两个必要因素：
- 作用在物体上的力
- 物体在力的方向上发生的位移
功的计算公式
当力的方向与位移方向一致时：W = F · s
当力的方向与位移方向成夹角θ时：W = F s cosθ
其中：
- W：功，单位：焦耳（J）
- F：力的大小，单位：牛顿（N）
- s：位移的大小，单位：米（m）
- θ：力与位移方向的夹角
功的性质
- 功是标量，只有大小，没有方向，但功有正负
- 单位：焦耳（J），
1 J = 1 N × 1 m = 1 N·m
正功和负功
根据θ的取值范围，功可以分为三种情况：
| θ的范围 | cosθ | 功W | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 0 ≤ θ < 90° | 正 | W > 0 | 力对物体做正功，是动力 |
| θ = 90° | 0 | W = 0 | 力对物体不做功 |
| 90° < θ ≤ 180° | 负 | W < 0 | 力对物体做负功，是阻力 |
负功的另一种说法：物体克服这个力做功（取绝对值）。 例如："力F对物体做-5 J的功" 等价于 "物体克服力F做功5 J"。
多个力的总功
当几个力同时作用在物体上时，总功等于各个力分别对物体所做功的代数和。
W总 = W₁ + W₂ + W₃ + ...
也可以先求出合力，再计算合力做的功：W总 = F合 s cosθ
两种方法结果是一致的。
功率
功率的定义
功率是表示物体做功快慢的物理量，等于功跟完成这些功所用时间的比值。
定义式：P = W / t
单位：瓦特（W），1 W = 1 J/s，常用单位：千瓦（kW），1 kW = 1000 W
平均功率和瞬时功率
- 平均功率：表示力在一段时间内做功的平均快慢，
P̄ = W / t - 瞬时功率：表示力在某一时刻（或某一位置）做功的快慢，
P = F v cosθ
当力与速度方向一致时（θ = 0）：P = F v
其中v是瞬时速度时，P就是瞬时功率；v是平均速度时，P就是平均功率。
额定功率和实际功率
- 额定功率：发动机正常工作时的最大输出功率，是铭牌上的标称值
- 实际功率：发动机实际输出的功率，可以小于等于额定功率，但不能长时间超过额定功率
机车启动问题
当机车以恒定功率启动时，根据公式 P = F v：
- 速度v较小时，牵引力F较大，加速度
a = (F - f) / m较大，机车做加速运动 - 随着v增大，F减小，加速度减小，做加速度逐渐减小的加速运动
- 当F = f时，a = 0，速度达到最大值
vₘₐₓ = P / f
当机车以恒定加速度启动时：
- 开始阶段牵引力F不变，加速度a不变，做匀加速直线运动，功率P = Fv逐渐增大
- 当P达到额定功率后，功率不能再增大，此后F减小，加速度减小，做加速度逐渐减小的加速运动
- 当F = f时，速度达到最大值
vₘₐₓ = P额 / f
摩擦力做功的特点
滑动摩擦力做功
滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功，取决于滑动摩擦力方向与位移方向的关系。
静摩擦力做功
静摩擦力同样可以做正功、负功或不做功。
一对作用力和反作用力做功
一对作用力和反作用力做功的大小不一定相等，正负也不一定相反。
练习题
选择题
下列关于功的说法中，正确的是：
- A. 力对物体做功，一定使物体的动能增加
- B. 力对物体不做功，说明物体一定没有位移
- C. 力对物体做负功，也可以说物体克服这个力做功
- D. 合外力对物体不做功，物体一定静止
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答案：C解析：根据动能定理，合外力做正功动能增加，合外力做负功动能减少，所以A不对；当力的方向与位移方向垂直时，力不做功，但物体有位移，所以B不对；力做负功就是物体克服力做功，这是等价说法，C正确；合外力不做功说明动能变化为零，但物体不一定静止，可以做匀速运动，所以D不对。
一个力大小为10 N，将物体沿水平方向推动2 m，力与水平方向成60°角，则这个力对物体做的功为：
- A. 10 J
- B. 20 J
- C. 10√3 J
- D. 20√3 J
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答案：A解析：根据公式
W = Fs cosθW = 10 N × 2 m × cos60° = 20 × 0.5 = 10 J质量为2 kg的物体自由下落，重力加速度g = 10 m/s²，则第3秒内重力做功的平均功率为：
- A. 100 W
- B. 250 W
- C. 300 W
- D. 500 W
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答案：D解析： 第2秒末速度：
v₂ = g t₂ = 10 × 2 = 20 m/s第3秒末速度：v₃ = g t₃ = 10 × 3 = 30 m/s第3秒内平均速度：v̄ = (v₂ + v₃) / 2 = (20 + 30) / 2 = 25 m/s重力mg = 2 × 10 = 20 N平均功率：P̄ = mg · v̄ = 20 × 25 = 500 W另一种方法：第3秒内位移 = 前3秒位移 - 前2秒位移
h = (1/2)g t₃² - (1/2)g t₂² = 0.5 × 10 × 9 - 0.5 × 10 × 4 = 45 - 20 = 25 m重力做功：W = mg h = 20 × 25 = 500 J平均功率：P̄ = W / t = 500 / 1 = 500 W
计算题
一个质量m = 10 kg的物体，在水平拉力F = 20 N作用下沿粗糙水平面移动距离s = 10 m，物体与水平面间的动摩擦因数μ = 0.1，重力加速度g = 10 m/s²。求： (1) 各个力对物体做的功； (2) 合外力对物体做的总功。
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分析： 物体受四个力：重力mg，支持力N，拉力F，摩擦力f。
解答： (1) 计算各力做功：
- 重力：重力方向竖直向下，位移水平方向，θ = 90°，
W_G = mg s cos90° = 0 - 支持力：支持力方向竖直向上，位移水平方向，θ = 90°，
W_N = N s cos90° = 0 - 拉力：拉力方向与位移方向相同，θ = 0°，
W_F = F s cos0° = 20 × 10 × 1 = 200 J - 摩擦力：摩擦力方向与位移方向相反，θ = 180°，
f = μN = μmg = 0.1 × 10 × 10 = 10 NW_f = f s cos180° = 10 × 10 × (-1) = -100 J
(2) 总功等于各力做功的代数和：
W总 = W_G + W_N + W_F + W_f = 0 + 0 + 200 - 100 = 100 J答：重力做功0，支持力做功0，拉力做功200 J，摩擦力做功-100 J；合外力做功100 J。
- 重力：重力方向竖直向下，位移水平方向，θ = 90°，
质量为m = 5 × 10⁵ kg的机车，额定功率P额 = 2.25 × 10⁶ W，阻力大小恒为f = 2.5 × 10⁴ N，求： (1) 机车能达到的最大速度； (2) 若机车以恒定加速度a = 0.5 m/s²启动，匀加速能维持多长时间。
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解答： (1) 当牵引力等于阻力时，速度最大：
F = fP额 = F vₘₐₓ = f vₘₐₓvₘₐₓ = P额 / f = (2.25 × 10⁶) / (2.5 × 10⁴) = 90 m/s(2) 匀加速阶段，根据牛顿第二定律：
F - f = maF = f + ma = 2.5 × 10⁴ + 5 × 10⁵ × 0.5 = 2.5 × 10⁴ + 2.5 × 10⁵ = 2.75 × 10⁵ N当功率达到额定功率时，匀加速结束：
P额 = F vv = P额 / F = (2.25 × 10⁶) / (2.75 × 10⁵) ≈ 8.18 m/s由
v = a t得：t = v / a ≈ 8.18 / 0.5 ≈ 16.4 s答：最大速度为90 m/s，匀加速能维持约16.4秒。