物理知识体系

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圆周运动 ​

圆周运动的描述 ​

线速度 ​

定义： 做圆周运动的物体通过的弧长 (\Delta s) 与所用时间 (\Delta t) 的比值叫做线速度的大小。

v=ΔsΔtv = \frac{\Delta s}{\Delta t}

方向： 沿圆周该点的切线方向。

物理意义： 描述物体沿圆周运动的快慢。

匀速圆周运动： 如果物体沿圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。

注意：匀速圆周运动中，线速度方向不断变化，所以是变速运动，"匀速"指的是速率不变。

角速度 ​

定义： 连接物体与圆心的半径转过的角度 (\Delta\theta) 与所用时间 (\Delta t) 的比值叫做角速度。

ω=ΔθΔt\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}

单位： 弧度每秒，符号是 rad/s。

物理意义： 描述物体绕圆心转动的快慢。

在匀速圆周运动中，角速度 (\omega) 是恒定不变的。

周期和频率 ​

  • 周期 (T)： 做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。单位：秒 (s)。
  • 频率 (f)： 单位时间内完成圆周运动的次数叫做频率。单位：赫兹 (Hz)。
  • 转速 (n)： 单位时间内转过的圈数。单位：转每秒 (r/s) 或转每分 (r/min)。

关系：

f=1T,n=ff = \frac{1}{T}, \quad n = f

ω=2πT=2πf=2πn\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f = 2\pi n

线速度、角速度、周期的关系 ​

v=ωr=2πrTv = \omega r = \frac{2\pi r}{T}

ω=vr\omega = \frac{v}{r}

说明：

  • (v) 与 (\omega) 的关系：(v = \omega r)，当半径 (r) 一定时，(v) 与 (\omega) 成正比；当 (\omega) 一定时，(v) 与 (r) 成正比；当 (v) 一定时，(\omega) 与 (r) 成反比。

向心加速度 ​

向心加速度的定义 ​

做匀速圆周运动的物体，加速度方向指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。

向心加速度的大小 ​

an=v2r=ω2r=vω=4π2rT2=4π2f2ra_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = v\omega = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = 4\pi^2 f^2 r

向心加速度的方向 ​

始终指向圆心，方向不断变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动。

物理意义： 描述线速度方向变化快慢的物理量。

向心力 ​

向心力的概念 ​

做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力叫做向心力。

向心力的大小 ​

Fn=man=mv2r=mω2rF_n = m a_n = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r

向心力的特点 ​

  • 方向：始终指向圆心，方向不断变化
  • 是效果力，不是性质力：它可以由某个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由某个力的分力提供
  • 向心力只改变速度方向，不改变速度大小

变速圆周运动 ​

变速圆周运动中，合外力不指向圆心：

  • 法向分量（径向）：改变速度方向，提供向心力 (F_n = m \frac{v^2}{r})
  • 切向分量：改变速度大小

生活中的圆周运动 ​

铁路转弯处 ​

铁路转弯处，外轨略高于内轨，火车转弯时，铁轨对火车的支持力和重力的合力提供向心力。

当火车速度 (v = \sqrt{g r \tan\theta}) 时，向心力完全由支持力和重力的合力提供，内外轨都不受挤压。

拱形桥 ​

汽车过拱形桥最高点时，重力和支持力的合力提供向心力：

mg−FN=mv2rmg - F_N = m \frac{v^2}{r}

FN=mg−mv2rF_N = mg - m \frac{v^2}{r}

可见 (F_N < mg)，汽车对桥的压力小于重力。

当 (v = \sqrt{g r}) 时，(F_N = 0)，汽车将离开桥面做平抛运动。

凹形桥 ​

汽车过凹形桥最低点时：

FN−mg=mv2rF_N - mg = m \frac{v^2}{r}

FN=mg+mv2rF_N = mg + m \frac{v^2}{r}

可见 (F_N > mg)，汽车对桥的压力大于重力。

航天器中的失重现象 ​

航天器绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力：

mg−FN=mv2r=mgmg - F_N = m \frac{v^2}{r} = mg

所以 (F_N = 0)，航天员处于完全失重状态。

离心运动 ​

做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿切线方向飞出的趋势。当提供向心力的合力突然消失，或者不足以提供所需的向心力时，物体将做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。

应用： 洗衣机脱水桶、离心分离器等。 危害： 汽车转弯时速度过大容易侧滑。

练习题 ​

选择题 ​

  1. 做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是：

    • A. 线速度
    • B. 角速度
    • C. 向心加速度
    • D. 周期
    查看答案 答案：B、D

    解析：匀速圆周运动中，角速度和周期大小恒定，方向不变（角速度方向沿转轴，不变），所以B、D正确。线速度和向心加速度方向不断变化，所以A、C错误。

  2. 关于向心力，下列说法正确的是：

    • A. 向心力是一种新的性质力
    • B. 向心力只能改变速度的方向，不能改变速度的大小
    • C. 做匀速圆周运动的物体，向心力就是合外力
    • D. 做圆周运动的物体，所受向心力一定不变
    查看答案 答案：B、C

    解析：向心力是效果力，不是新性质力，A错误；向心力始终与速度垂直，不做功，只改变方向不改变大小，B正确；匀速圆周运动合外力就是向心力，C正确；向心力方向不断变化，是变力，D错误。

  3. 两个做匀速圆周运动的物体，它们的线速度相等，下列说法正确的是：

    • A. 角速度一定相等
    • B. 向心力大小一定相等
    • C. 向心加速度大小一定相等
    • D. 周期不一定相等
    查看答案 答案：D

    解析：由 (v = \omega r)，(\omega = \frac{v}{r})，线速度相等，如果半径不同，角速度就不同，周期 (T = \frac{2\pi}{\omega}) 也不同，所以A错，D正确；(a_n = \frac{v^2}{r})，半径不同，向心加速度不同，向心力 (F = m a_n) 也不同，所以B、C错误。

计算题 ​

  1. 一个质量 (m = 1 \text{ kg}) 的小球，用长 (L = 1 \text{ m}) 的绳子拴着，在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点的速度 (v = 4 \text{ m/s})，g = 10 m/s²，求：

    • (1) 小球在最高点时绳子的拉力
    • (2) 若小球在最低点的速度 (v' = 6 \text{ m/s})，求最低点时绳子的拉力
    查看解答

    (1) 在最高点，小球受重力和绳子拉力向下，合力提供向心力：

    T1+mg=mv2LT_1 + mg = m \frac{v^2}{L}

    T1=mv2L−mg=1×421−1×10=16−10=6 NT_1 = m \frac{v^2}{L} - mg = 1 \times \frac{4^2}{1} - 1 \times 10 = 16 - 10 = 6\ \text{N}

    (2) 在最低点，小球受重力向下，拉力向上，拉力减重力提供向心力：

    T_2 - mg = m \frac{v'^2}{L} T_2 = m \frac{v'^2}{L} + mg = 1 \times \frac{6^2}{1} + 1 \times 10 = 36 + 10 = 46\ \text{N}

    答：(1) 最高点拉力为 6 N；(2) 最低点拉力为 46 N。

  2. 汽车质量为 (m = 2.0 \times 10^3 \text{ kg})，以速度 (v = 20 \text{ m/s}) 通过半径为 (r = 100 \text{ m}) 的拱形桥最高点，求：

    • (1) 汽车对桥的压力大小
    • (2) 汽车速度多大时，汽车对桥的压力为零 (g = 10 m/s²)
    查看解答

    (1) 在最高点，重力和支持力合力提供向心力：

    mg−FN=mv2rmg - F_N = m \frac{v^2}{r}

    FN=mg−mv2r=2.0×103×10−2.0×103×202100F_N = mg - m \frac{v^2}{r} = 2.0 \times 10^3 \times 10 - 2.0 \times 10^3 \times \frac{20^2}{100}

    =2.0×104−8.0×103=1.2×104 N= 2.0 \times 10^4 - 8.0 \times 10^3 = 1.2 \times 10^4\ \text{N}

    由牛顿第三定律，汽车对桥的压力大小等于 (F_N)，即 (1.2 \times 10^4\ \text{N})。

    (2) 当压力为零时，(F_N = 0)，重力全部提供向心力：

    mg=mv2rmg = m \frac{v^2}{r}

    v=gr=10×100=1000≈31.6 m/sv = \sqrt{g r} = \sqrt{10 \times 100} = \sqrt{1000} \approx 31.6\ \text{m/s}

    答：(1) 汽车对桥的压力为 1.2 × 10⁴ N；(2) 速度约为 31.6 m/s 时压力为零。

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