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简谐运动
机械振动
定义：物体或物体的一部分在某一中心位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，简称振动。
产生条件：
- 物体受到回复力的作用
- 阻力足够小
回复力：使物体返回到平衡位置的力。回复力是效果力，可以是某个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
平衡位置：物体静止时的位置。在平衡位置，回复力为零，但合力不一定为零（如单摆）。
简谐运动的定义
物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫做简谐运动。
简谐运动的特征：
- 动力学特征：回复力满足
F = -kx - 运动学特征：加速度满足
a = -kx/m，加速度与位移成正比，方向相反 - 能量特征：简谐运动过程中机械能守恒（忽略阻力）
其中：
k是比例系数（对弹簧振子就是劲度系数，不一定都是）x是相对于平衡位置的位移- 负号表示回复力的方向总是与位移方向相反，指向平衡位置
弹簧振子
弹簧振子是简谐运动的典型模型：
结构：轻质弹簧一端固定，另一端连接一个可以自由运动的物体（振子），放在光滑水平面上。
运动分析：
- 平衡位置：弹簧原长位置，此时回复力为零
- 当振子偏离平衡位置后，弹簧的弹力提供回复力：
F = -kx - 简谐运动中，振子的加速度
a = F/m = -(k/m)x
特点：水平弹簧振子在运动过程中，机械能守恒（动能和弹性势能相互转化）。
描述简谐运动的物理量
1. 振幅 (A)
- 定义：振动物体离开平衡位置的最大距离
- 物理意义：表示振动强弱的物理量，单位：米 (m)
- 振幅是标量，总为正值
2. 周期 (T) 和频率 (f)
- 全振动：物体从某一位置出发，再次以相同速度回到该位置的过程
- 周期：完成一次全振动所需要的时间，单位：秒 (s)
- 频率：单位时间内完成全振动的次数，单位：赫兹 (Hz)
- 关系：
T = 1/f，f = 1/T - 固有周期和固有频率：简谐运动的周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关，所以叫做固有周期和固有频率
弹簧振子的周期公式： T = 2π√(m/k)
m是振子质量k是弹簧劲度系数
可见，弹簧振子的周期由质量和劲度系数决定，与振幅无关。
3. 相位 (φ)
- 描述振子振动进程的物理量，表示振子在一个周期中所处的位置
- 初相位：t=0时的相位，记为
φ_0 - 相位差：两个频率相同的简谐运动的相位之差
Δφ = φ_2 - φ_1Δφ = 0称为同相Δφ = π称为反相
简谐运动的表达式
从平衡位置开始计时，简谐运动的位移随时间变化的关系为：
x = A sin(ωt + φ_0)
其中：
A是振幅ω = 2πf = 2π/T叫做角频率，表示单位时间内相位的变化ωt + φ_0是相位，φ_0是初相位
从最大位移处开始计时： x = A cos(ωt + φ_0)
利用三角恒等式 sin(θ + π/2) = cosθ，两种表达式可以互相转换。
简谐运动的图象
图象：以时间t为横坐标，位移x为纵坐标，得到简谐运动的位移-时间图象，是一条正弦或余弦曲线。
从图象可以获得的信息：
- 直接读出振幅A
- 直接读出周期T
- 确定任一时刻振子的位置
- 判断回复力和加速度的方向（总是指向平衡位置）
- 判断速度方向
- 判断不同时间段内位移、加速度、速度、动能、势能的变化趋势
简谐运动的图象不是振动轨迹，而是位移随时间变化的规律。
简谐运动的能量
能量组成：简谐运动中，振动系统的能量包括动能和势能（重力势能或弹性势能）。
能量转化：
- 物体向平衡位置运动：动能增加，势能减少
- 物体远离平衡位置：动能减少，势能增加
- 忽略阻力时，机械能守恒，总机械能保持不变，等于最大位移处的势能，也等于平衡位置处的动能：
E = 1/2 kA^2
能量与振幅的关系：振幅越大，振动能量越大。阻尼振动振幅逐渐减小，能量逐渐减少。
简谐运动是理想化模型，实际振动都有阻尼，振幅逐渐减小，称为阻尼振动。
单摆
单摆的构成：
- 细线一端固定，另一端拴一个小球
- 细线质量不计，不可伸长
- 小球直径远小于细线长度，可以看成质点
单摆的回复力：
- 重力沿切线方向的分力提供回复力
- 当摆角很小（θ < 5°，即约0.087 rad）时，
sinθ ≈ θ ≈ x/L，回复力F = -mgx/L = -kx，其中k = mg/L，所以单摆做简谐运动。
单摆的周期公式： T = 2π√(L/g)
其中：
L是摆长，即悬点到球心的距离，等于细线长度加上小球半径g是当地重力加速度
特点：
- 单摆周期与振幅无关（等时性），与摆球质量无关
- 周期只与摆长和重力加速度有关
应用：
- 计时（利用等时性）
- 测定重力加速度：
g = 4π^2L/T^2
简谐运动中的几个物理量变化规律
| 物理量 | 平衡位置 → 最大位移 | 最大位移 → 平衡位置 |
|---|---|---|
| 位移 x | 增大，方向远离平衡位置 | 减小，方向指向平衡位置 |
| 回复力 F | 增大，方向指向平衡位置 | 减小，方向指向平衡位置 |
| 加速度 a | 增大，方向指向平衡位置 | 减小，方向指向平衡位置 |
| 速度 v | 减小，方向远离平衡位置 | 增大，方向指向平衡位置 |
| 动能 E_k | 减小 | 增大 |
| 势能 E_p | 增大 | 减小 |
| 总机械能 E | 不变（守恒） | 不变（守恒） |
在平衡位置：位移=0，加速度=0，速度最大，动能最大，势能最小 在最大位移处：位移最大，加速度最大，速度=0，动能=0，势能最大
练习题
选择题
关于简谐运动，下列说法中正确的是：
- A. 回复力总是指向平衡位置
- B. 做简谐运动的物体，加速度方向总与速度方向相反
- C. 简谐运动是匀变速运动
- D. 简谐运动的周期与振幅无关
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答案：AD解析：
- A正确：回复力的定义就是使物体回到平衡位置的力，方向总是指向平衡位置
- B错误：物体从最大位移向平衡位置运动时，加速度方向与速度方向相同
- C错误：简谐运动中加速度
a = -kx/m，加速度随位移变化，不是匀变速运动 - D正确：简谐运动的周期由系统本身性质决定，与振幅无关，称为固有周期
弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是：
- A. 振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
- B. 振子在最大位移处，势能最大，动能最小
- C. 振子向平衡位置运动时，动能增大，势能减小
- D. 振子远离平衡位置运动时，动能增大，势能减小
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答案：ABC解析：
- A正确：平衡位置速度最大，所以动能最大，位移最小，势能最小
- B正确：最大位移处速度为零，动能最小，位移最大，势能最大
- C正确：向平衡位置运动时，位移减小，势能减小，速度增大，动能增大，势能转化为动能
- D错误：远离平衡位置时，位移增大，势能增大，速度减小，动能减小，动能转化为势能
已知单摆摆长为L，重力加速度为g，则单摆的周期为：
- A.
T = 2π√(g/L) - B.
T = 2π√(L/g) - C.
T = (1/2π)√(g/L) - D.
T = (1/2π)√(L/g)
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答案：B解析： 单摆的周期公式是
T = 2π√(L/g)，记住摆长在分子位置，重力加速度在分母位置。- A.
计算题
一个弹簧振子，质量m = 0.1 kg，劲度系数k = 10 N/m，振幅A = 0.02 m。求： (1) 振动的周期和频率 (2) 最大加速度 (3) 总机械能 (4) 当位移为振幅一半时，动能和势能各是多少
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解答：
(1) 周期：
T = 2π√(m/k) = 2π√(0.1/10) = 2π√(0.01) = 2π × 0.1 = 0.2π ≈ 0.628 s频率：
f = 1/T = 1/(0.2π) ≈ 1.59 Hz(2) 最大加速度出现在最大位移处：
F_max = kA = 10 × 0.02 = 0.2 Na_max = F_max/m = 0.2 / 0.1 = 2 m/s^2(3) 总机械能：
E = 1/2 kA^2 = 0.5 × 10 × (0.02)^2 = 0.5 × 10 × 0.0004 = 0.002 J(4) 当x = A/2 = 0.01 m时： 势能
E_p = 1/2 kx^2 = 0.5 × 10 × (0.01)^2 = 0.0005 J由机械能守恒，动能E_k = E - E_p = 0.002 - 0.0005 = 0.0015 J答： (1) 周期约0.628 s，频率约1.59 Hz (2) 最大加速度2 m/s² (3) 总机械能0.002 J (4) 动能0.0015 J，势能0.0005 J
用单摆测定重力加速度实验中，测得摆长L = 1.000 m，50次全振动的时间为100.5 s。求： (1) 单摆的周期 (2) 当地的重力加速度
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解答：
(1) 周期：
T = t/N = 100.5 s / 50 = 2.01 s(2) 由
T = 2π√(L/g)，得：g = 4π^2L / T^2 = 4 × π^2 × 1.000 / (2.01)^2 ≈ 4 × 9.87 / 4.04 ≈ 9.76 m/s^2答： (1) 周期2.01 s (2) 重力加速度约9.76 m/s²