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洛伦兹力
洛伦兹力的概念
运动电荷在磁场中受到的力叫做洛伦兹力。
安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质。导体中的电流是由大量自由电荷定向运动形成的，这些运动电荷在磁场中受到洛伦兹力，宏观上表现为通电导体受到安培力。
洛伦兹力的大小
推导洛伦兹力公式
设导体中单位体积内有n个自由电荷，每个电荷电荷量为q，电荷定向运动速度为v，导体横截面积为S，电流I = n q v S。
垂直放置在磁场中时，导体长度L，受到安培力： F = B I L = B (n q v S) L
导体中总电荷数N = n S L，每个电荷受到的洛伦兹力： f = F / N = (B n q v S L) / (n S L) = q v B
这就是v垂直于B时的洛伦兹力公式。
洛伦兹力公式
当速度v方向与磁感应强度B方向垂直时：
f = q v B
当速度v方向与磁感应强度B方向成θ角时，只有垂直于B的分量v⊥ = v sinθ对洛伦兹力有贡献：
f = q v B sinθ
- 当 v ⊥ B 时，θ = 90°，
f = q v B，洛伦兹力最大 - 当 v ∥ B 时，θ = 0°，
f = 0，洛伦兹力为零
单位
- q：电荷量（C）
- v：速度（m/s）
- B：磁感应强度（T）
- f：洛伦兹力（N）
洛伦兹力的方向
左手定则
洛伦兹力方向用左手定则判断：
伸开左手，使拇指与其余四指垂直，并且都与手掌在同一平面内；让磁感线从掌心进入，使四指指向正电荷运动的方向，这时拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向。
注意：如果是负电荷，四指要指向负电荷运动的反方向。
方向特点
洛伦兹力方向总是垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面： f ⊥ v，f ⊥ B
洛伦兹力始终与速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功：
- 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小
- 洛伦兹力永远不做功，不改变粒子动能
带电粒子在匀强磁场中的运动
运动轨迹分析
带电粒子垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力提供向心力，粒子做匀速圆周运动。
因为 f ⊥ v，f大小不变，始终指向圆心，提供向心力。
基本公式
洛伦兹力提供向心力： q v B = m v² / r
由此可得：
- 轨道半径：
r = (m v) / (q B) = (p) / (q B)，其中p = mv是动量 - 周期：
T = (2πr) / v = (2πm) / (q B)
重要结论：周期T与速度v无关。速度越大，轨道半径越大，但周期不变。
回旋加速器原理
回旋加速器利用了"周期与速度无关"这一重要性质：
- D形盒中，粒子做圆周运动周期不变
- 交变电场周期等于粒子运动周期，保证每次经过缝隙都被加速
- 最大动能由D形盒半径和磁感应强度决定：
E_kmax = (q² B² R²) / (2m)
洛伦兹力的应用
质谱仪
质谱仪是测量带电粒子质量和分析同位素的重要仪器。
工作过程：
- 粒子经过加速电场加速：
q U = (1/2) m v² - 进入匀强磁场，做匀速圆周运动：
r = mv/(qB) - 消去v得：
m/q = (B² r²)/(2U)
通过测量轨迹半径r，就可以算出比荷m/q，从而得到质量m。同位素电荷相同质量不同，偏转半径不同，从而分开。
回旋加速器
用来加速带电粒子获得高能粒子的装置。
结构：两个D形金属盒，中间有缝隙，放在匀强磁场中，磁场垂直于D形盒平面，缝隙处接交变电源。
原理：
- 粒子在D形盒内靠洛伦兹力做圆周运动
- 每次经过缝隙被电场加速
- 由于周期与速度无关，交变电场频率保持不变即可
- 最大动能由D形盒半径R决定：
E_km = (q² B² R²)/(2m)
速度选择器
利用正交的匀强电场和匀强磁场选择特定速度的粒子。
原理：带电粒子垂直射入正交的电磁场，受到电场力和洛伦兹力：
- 电场力：
F_e = q E - 洛伦兹力：
f = q v B - 平衡时：
q E = q v B，得v = E/B
只有速度等于E/B的粒子才能沿直线通过，其他速度的粒子会发生偏转。
带电粒子在磁场中运动的解题方法
基本步骤
- 确定圆心：洛伦兹力指向圆心，两个位置洛伦兹力方向的交点就是圆心，或者弦的中垂线与切线垂线的交点是圆心
- 计算半径：用几何关系求轨道半径r，或用公式
r = mv/(qB) - 确定圆心角：圆心角等于偏转角，等于速度偏转角
- 计算运动时间：
t = (θ/2π) T = (θ m)/(q B)，其中θ是圆心角（弧度）
常见几何关系
- 偏转角φ等于圆心角α
- 弦长L = 2r sin(α/2)
- 注意找直角三角形，利用勾股定理计算半径
练习题
选择题
关于洛伦兹力，下列说法中正确的是：
- A. 洛伦兹力一定不做功
- B. 洛伦兹力一定改变速度方向
- C. 洛伦兹力不改变速度大小
- D. 静止电荷在磁场中不受洛伦兹力
查看答案
答案：ABCD解析：洛伦兹力始终与速度方向垂直，所以不做功，不改变速度大小，只改变方向，ABC正确；v=0时f=qvB=0，静止电荷不受洛伦兹力，D正确。
一个质子和一个α粒子先后垂直进入同一匀强磁场中：
- A. 若速度相同，则轨道半径之比为1:2
- B. 若动量相同，则轨道半径之比为1:2
- C. 若动能相同，则轨道半径之比为1:√2
- D. 运动周期之比为1:2
（质子：质量m，电荷e；α粒子：质量4m，电荷2e）
查看答案
答案：ACD解析：r = mv/(qB)
- v相同：r ∝ m/q，r_p / r_α = (m/e) / (4m/2e) = (m/e) / (2m/e) = 1/2，A正确
- p=mv相同：r ∝ 1/q，r_p / r_α = (1/e)/(1/2e) = 2/1 = 2:1，B错误
- E_k相同：v = √(2E_k/m)，r = m√(2E_k/m)/(qB) = √(2mE_k)/(qB) ∝ √m/q r_p / r_α = (√m/e) / (√(4m)/2e) = (√m/e) / (2√m/2e) = (√m/e)/(√m/e) = 1:1？不对，让我重新算： r_p = √(2m E_k)/eB，r_α = √(2·4m·E_k)/(2e B) = (2√(2m E_k))/(2e B) = √(2m E_k)/(eB)，所以r_p = r_α，比是1:1。哦，原来如此，我之前算错了。让我重新看选项，选项C说1:√2，不对。那C错误。
- T = 2πm/(qB) ∝ m/q，T_p / T_α = (m/e)/(4m/2e) = 1/2，D正确
所以正确是AD。哦，我刚才C分析错了。正确答案是AD。
带电粒子垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，若要增大轨道半径，可以：
- A. 增大粒子电荷量
- B. 增大粒子质量
- C. 增大粒子速度
- D. 增大磁感应强度
查看答案
答案：BC解析：r = mv/(qB)，所以r与mv成正比，与qB成反比。增大m或v都会使r增大，增大q或B会使r减小，所以BC正确。
计算题
一个电子以速度
v = 3.0 × 10⁶ m/s垂直进入磁感应强度B = 0.10 T的匀强磁场，求电子做圆周运动的轨道半径和周期。（电子质量m_e = 9.1 × 10⁻³¹ kg，电荷量e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C）查看解答
解答： 轨道半径：
r = (m_e v)/(e B) = (9.1 × 10⁻³¹ kg × 3.0 × 10⁶ m/s) / (1.6 × 10⁻¹⁹ C × 0.10 T)= (2.73 × 10⁻²⁴) / (1.6 × 10⁻²⁰) ≈ 1.7 × 10⁻⁴ m = 0.17 mm周期：
T = (2π m_e)/(e B) = (2 × 3.14 × 9.1 × 10⁻³¹) / (1.6 × 10⁻¹⁹ × 0.10)= (5.7 × 10⁻³⁰) / (1.6 × 10⁻²⁰) ≈ 3.6 × 10⁻¹⁰ s可以看到周期T与v无关。
答：半径约 1.7 × 10⁻⁴ m，周期约 3.6 × 10⁻¹⁰ s。
速度选择器中，匀强电场E = 1.0 × 10⁴ V/m，匀强磁场B = 0.10 T，方向正交。问：什么速度的带电粒子能沿直线通过速度选择器？
查看解答
解答： 粒子能沿直线通过的条件是电场力与洛伦兹力平衡：
q E = q v B，约去q得：v = E/B = (1.0 × 10⁴ V/m) / (0.10 T) = 1.0 × 10⁵ m/s结论：只有速度为
1.0 × 10⁵ m/s的粒子才能沿直线通过，与粒子电荷量、质量都无关。质量为m，电荷量为q的正离子，经电势差U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场，求： (1) 离子在磁场中做圆周运动的轨道半径； (2) 运动周期。
查看解答
解答： (1) 加速过程，动能定理：
q U = (1/2) m v²，得v = √(2 q U / m)在磁场中，洛伦兹力提供向心力：
r = m v / (q B) = m √(2 q U / m) / (q B) = √(2 m U / q) / B = (1/B) √(2 m U / q)(2) 周期：
T = 2π m / (q B)，与速度无关，所以周期就是这个表达式。答：半径
r = (1/B)√(2 m U / q)，周期T = 2πm/(qB)。