物理知识体系

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万有引力与航天 ​

行星的运动 ​

开普勒第一定律（轨道定律） ​

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律（面积定律） ​

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

结论： 行星在近日点速度大，在远日点速度小。

开普勒第三定律（周期定律） ​

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

a3T2=k\frac{a^3}{T^2} = k

其中：

  • (a) 是椭圆轨道的半长轴
  • (T) 是行星公转周期
  • (k) 是一个常量，只与中心天体有关，与行星无关

近似处理： 在中学阶段，多数行星的轨道可近似看作圆，圆心就是太阳，此时半长轴 (a) 就是轨道半径 (r)，开普勒第三定律变为：

r3T2=k\frac{r^3}{T^2} = k

万有引力定律 ​

万有引力定律的推导 ​

牛顿结合开普勒行星运动定律，结合牛顿第二定律和第三定律，推导出万有引力定律：

  • 行星绕太阳做圆周运动的向心力由引力提供：(F = m \frac{v^2}{r} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2})
  • 由开普勒第三定律 (T^2 = \frac{r^3}{k})，代入得：(F = 4\pi^2 k \frac{m}{r^2} \propto \frac{m}{r^2})
  • 引力是相互的，太阳受到行星的引力 (F' \propto \frac{M}{r^2})，所以 (F \propto \frac{Mm}{r^2})

即：(F = G \frac{Mm}{r^2})

万有引力定律的内容 ​

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 (M) 和 (m) 的乘积成正比，与它们之间距离 (r) 的二次方成反比。

F=GM1M2r2F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}

其中：

  • (G) 是引力常量，(G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2)（由卡文迪许通过扭秤实验测出）
  • (M_1)、(M_2) 是两个物体的质量
  • (r) 是两个物体间的距离

万有引力定律的适用条件 ​

  1. 质点间的相互作用：当两个物体的大小远小于它们之间的距离时，可以看作质点。
  2. 均匀球体：对于两个均匀球体，(r) 是两个球心之间的距离。
  3. 一个均匀球体与球外一个质点：(r) 是质点到球心的距离。

对万有引力定律的理解 ​

  • 普遍性：任何两个有质量的物体之间都存在万有引力
  • 相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力
  • 宏观性：通常物体间的万有引力很小，可以忽略，只有当物体质量很大（天体）时，万有引力才起显著作用

万有引力理论的成就 ​

计算天体质量 ​

方法一：利用环绕天体 ​

行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：

GMmr2=m4π2T2rG \frac{Mm}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r

解得中心天体质量：

M=4π2r3GT2M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}

只要测出环绕天体的轨道半径 (r) 和周期 (T)，就可以求出中心天体的质量 (M)。

方法二：利用天体表面的重力加速度 ​

忽略天体自转影响，天体表面物体所受重力近似等于万有引力：

mg=GMmR2mg = G \frac{Mm}{R^2}

得黄金代换式：

GM=gR2GM = g R^2

所以天体质量：

M=gR2GM = \frac{g R^2}{G}

其中 (R) 是天体半径，(g) 是天体表面重力加速度。

计算天体密度 ​

ρ=MV=M43πR3\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}

若用环绕法：(M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2})，代入得：

ρ=3πr3GT2R3\rho = \frac{3\pi r^3}{G T^2 R^3}

若环绕天体沿天体表面运动（近地卫星），(r = R)，则：

ρ=3πGT2\rho = \frac{3\pi}{G T^2}

发现未知天体 ​

根据万有引力定律，可以预测行星轨道的偏差，从而发现未知天体。海王星就是通过这种方法发现的，被称为"笔尖下发现的行星"。

宇宙航行 ​

人造地球卫星 ​

人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：

GMmr2=mv2r=mω2r=m4π2T2rG \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} = m \omega^2 r = m \frac{4\pi^2}{T^2} r

可得：

  • 线速度：(v = \sqrt{\frac{GM}{r}})，(r) 越大，(v) 越小
  • 角速度：(\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}})，(r) 越大，(\omega) 越小
  • 周期：(T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}})，(r) 越大，(T) 越大

三种宇宙速度 ​

  • 第一宇宙速度（环绕速度）：(v_1 = 7.9\ \text{km/s})

    • 是人造卫星近地环绕地球做圆周运动的速度
    • 是发射人造卫星的最小发射速度
    • 推导：(G \frac{Mm}{R^2} = m \frac{v^2}{R}) 得 (v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{g R} = 7.9\ \text{km/s})

  • 第二宇宙速度（脱离速度）：(v_2 = 11.2\ \text{km/s})

    • 使物体脱离地球引力束缚的最小发射速度
    • 超过这个速度，物体将脱离地球引力，不再绕地球运动

  • 第三宇宙速度（逃逸速度）：(v_3 = 16.7\ \text{km/s})

    • 使物体脱离太阳引力束缚的最小发射速度
    • 超过这个速度，物体将脱离太阳引力，飞到太阳系外

同步卫星 ​

地球同步卫星的特点：

  • 周期：(T = 24\ \text{h})，与地球自转周期相同
  • 轨道平面：一定在赤道平面内
  • 高度：距离地面高度一定（约 (3.6 \times 10^4\ \text{km})）
  • 线速度：线速度大小一定

双星问题 ​

两颗星绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，称为双星。 特点：

  • 周期相同，角速度相同
  • 向心力由相互间的万有引力提供，大小相等
  • 轨道半径与质量成反比：(m_1 r_1 = m_2 r_2)

经典力学的局限性 ​

经典力学（牛顿力学）只适用于：

  • 宏观物体，不适用于微观粒子
  • 低速运动，不适用于高速运动（接近光速）
  • 弱引力场，不适用于强引力场

相对论和量子力学的出现，说明人类对自然界的认识更加深入，并没有否定经典力学。

练习题 ​

选择题 ​

  1. 关于万有引力定律，下列说法正确的是：

    • A. 万有引力定律是牛顿发现的
    • B. 引力常量 (G) 是卡文迪许通过实验测出的
    • C. 万有引力定律对任何情况下都适用
    • D. 两个物体间的万有引力是一对平衡力
    查看答案 答案：A、B

    解析：万有引力定律由牛顿发现，引力常量由卡文迪许测出，A、B正确；万有引力定律适用于宏观低速，不适用于微观高速，C错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，不是平衡力，D错误。

  2. 若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下列说法正确的是：

    • A. 轨道半径越大，线速度越大
    • B. 轨道半径越大，周期越大
    • C. 轨道半径越大，角速度越大
    • D. 轨道半径越大，向心加速度越小
    查看答案 答案：B、D

    解析：由 (v = \sqrt{\frac{GM}{r}})，r越大，v越小，A错；由 (T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}})，r越大，T越大，B正确；由 (\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}})，r越大，(\omega) 越小，C错；由 (a = \frac{GM}{r^2})，r越大，a越小，D正确。

  3. 地球同步卫星的特点是：

    • A. 周期等于地球自转周期
    • B. 轨道平面一定在赤道平面内
    • C. 质量越大，轨道半径越大
    • D. 线速度大于第一宇宙速度
    查看答案 答案：A、B

    解析：同步卫星周期必须等于地球自转周期，轨道必须在赤道平面，A、B正确；同步卫星轨道半径是确定的，与质量无关，C错误；第一宇宙速度是近地卫星速度，同步卫星轨道半径比地球半径大很多，所以线速度小于第一宇宙速度，D错误。

计算题 ​

  1. 已知地球半径 (R = 6.4 \times 10^6 \text{ m})，地球表面重力加速度 (g = 9.8 \text{ m/s}^2)，引力常量 (G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2)，求地球质量 (M) 和地球的平均密度 (\rho)。

    查看解答

    地球表面物体重力近似等于万有引力：

    mg=GMmR2mg = G \frac{Mm}{R^2}

    M=gR2G=9.8×(6.4×106)26.67×10−11≈6.0×1024 kgM = \frac{g R^2}{G} = \frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}

    密度：

    V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3

    ρ=MV=3M4πR3=3×6.0×10244×3.14×(6.4×106)3≈5.5×103 kg/m3\rho = \frac{M}{V} = \frac{3M}{4\pi R^3} = \frac{3 \times 6.0 \times 10^{24}}{4 \times 3.14 \times (6.4 \times 10^6)^3} \approx 5.5 \times 10^3\ \text{kg/m}^3

    答：地球质量约为 (6.0 \times 10^{24}) kg，密度约为 (5.5 \times 10^3) kg/m³。

  2. 已知月球绕地球做匀速圆周运动，周期约为27.3天，轨道半径约为 (3.84 \times 10^8 \text{ m})，引力常量 (G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2)，求地球质量。

    查看解答

    万有引力提供向心力：

    GMmr2=m4π2T2rG \frac{Mm}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r

    M=4π2r3GT2M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}

    (T = 27.3 \text{ 天} = 27.3 \times 24 \times 3600 \approx 2.36 \times 10^6 \text{ s})

    代入：

    M=4×3.142×(3.84×108)36.67×10−11×(2.36×106)2≈6.0×1024 kgM = \frac{4 \times 3.14^2 \times (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (2.36 \times 10^6)^2} \approx 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}

    答：地球质量约为 (6.0 \times 10^{24}) kg，与前一题结果一致，验证正确。

  3. 我国发射的"神舟"五号飞船绕地球做匀速圆周运动，周期约为90分钟，轨道半径约为 (6.7 \times 10^6 \text{ m})，求飞船的线速度和向心加速度。

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    线速度：

    v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T}

    (T = 90 \text{ min} = 5400 \text{ s})

    v=2×3.14×6.7×1065400≈7.8×103 m/s=7.8 km/sv = \frac{2 \times 3.14 \times 6.7 \times 10^6}{5400} \approx 7.8 \times 10^3\ \text{m/s} = 7.8\ \text{km/s}

    向心加速度：

    a=v2r=(7.8×103)26.7×106≈9.1 m/s2a = \frac{v^2}{r} = \frac{(7.8 \times 10^3)^2}{6.7 \times 10^6} \approx 9.1\ \text{m/s}^2

    答：线速度约为 7.8 km/s，向心加速度约为 9.1 m/s²。

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