物理知识体系

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动能定理 ​

动能 ​

动能的定义 ​

物体由于运动而具有的能量叫做动能，用符号E_k表示。

动能的计算公式 ​

E_k = (1/2) m v²

其中：

  • m：物体的质量
  • v：物体的瞬时速度

动能是标量，只有大小没有方向，单位是焦耳（J）。

动能的特点 ​

  • 动能是状态量，对应某一时刻（或某一位置）的状态
  • 动能总是非负的（E_k ≥ 0）
  • 动能具有相对性，对不同参考系，速度不同，动能也不同，通常以地面为参考系

动能定理 ​

动能定理的内容 ​

所有外力对物体做的总功，等于物体动能的变化量。

动能定理的表达式 ​

W总 = ΔE_k = E_k₂ - E_k₁ = (1/2) m v₂² - (1/2) m v₁²

其中：

  • W总：所有外力对物体做的总功
  • E_k₁：初状态的动能
  • E_k₂：末状态的动能
  • ΔE_k：动能的变化量

对动能定理的理解 ​

  1. W总是总功，等于各个力做功的代数和：

    • 当外力做正功时，W > 0，ΔE_k > 0，动能增加
    • 当外力做负功时，W < 0，ΔE_k < 0，动能减少

  2. 动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功

  3. 既适用于直线运动，也适用于曲线运动

  4. 动能定理只关注初末状态，不关注中间过程，这是它比牛顿运动定律优越的地方

应用动能定理的解题步骤 ​

  1. 确定研究对象，明确研究过程
  2. 分析受力，找出所有作用在物体上的力
  3. 计算每个力做的功，再求出总功W总
  4. 写出初末状态的动能 E_k₁ 和 E_k₂
  5. 根据动能定理列方程 W总 = E_k₂ - E_k₁ 求解

动能定理的应用 ​

处理变力做功问题 ​

当力是变力时，无法直接用 W = Fs cosθ 计算功，但可以通过动能定理，由动能的变化求出变力做的功。

处理曲线运动问题 ​

动能定理不要求分析过程中的加速度和运动细节，只需要初末状态，因此处理曲线运动很方便。

多过程问题 ​

动能定理可以对全过程一次性应用，不需要分段分析，简化计算。

练习题 ​

选择题 ​

  1. 下列关于动能的说法中，正确的是：

    • A. 速度大的物体动能一定大
    • B. 质量大的物体动能一定大
    • C. 动能不可能为零
    • D. 一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化
    查看答案 答案：D

    解析：动能 E_k = (1/2)mv²，动能由质量和速度共同决定，速度大质量小动能不一定大，质量大速度小动能也不一定大，所以A、B不对；当速度为零时动能为零，所以C不对；对于一定质量的物体，动能变化意味着速度大小一定变化，所以速度一定变化，D正确。

  2. 物体沿水平桌面滑行，动能从12 J减少到0，摩擦力对物体做的功为：

    • A. 0
    • B. 12 J
    • C. -12 J
    • D. 无法确定
    查看答案 答案：C

    解析：根据动能定理，摩擦力做功 W = E_k₂ - E_k₁ = 0 - 12 = -12 J

  3. 质量为m的物体，在水平恒力F作用下由静止开始运动，位移为s，物体受到的阻力恒为f，则物体获得的动能为：

    • A. (F - f)s
    • B. Fs
    • C. (F + f)s
    • D. fs
    查看答案 答案：A

    解析：总功 W总 = Fs - fs = (F - f)s，初动能为零，根据动能定理，末动能 E_k = W总 = (F - f)s

计算题 ​

  1. 质量m = 10 kg的物体，以v₀ = 10 m/s的初速度滑上粗糙水平面，滑行距离s = 25 m后停止。求物体与水平面间的动摩擦因数μ。（g = 10 m/s²）

    查看解答

    分析： 物体滑动过程中，只有摩擦力做功，用动能定理求解。

    解答： 初动能 E_k₁ = (1/2)m v₀² = 0.5 × 10 × 10² = 500 J 末动能 E_k₂ = 0

    摩擦力 f = μN = μmg，摩擦力做功 W_f = -f s = -μmg s

    由动能定理： -μmg s = E_k₂ - E_k₁ = 0 - 500 = -500 J

    所以 μmg s = 500μ = 500 / (mg s) = 500 / (10 × 10 × 25) = 500 / 2500 = 0.2

    答：动摩擦因数为0.2。

  2. 从离地面高度h = 20 m处，以v₀ = 10 m/s的初速度水平抛出一个质量m = 0.5 kg的小球，忽略空气阻力，g = 10 m/s²。求小球落地时的速度大小。

    查看解答

    方法一：用动能定理求解 抛出到落地过程中，只有重力做功，重力做功 W_G = mgh

    初动能 E_k₁ = (1/2)m v₀² 末动能 E_k₂ = (1/2)m v²

    由动能定理： mgh = (1/2)m v² - (1/2)m v₀²

    约去m得： v² = v₀² + 2gh = 10² + 2 × 10 × 20 = 100 + 400 = 500v = √500 ≈ 22.4 m/s

    方法二：运动分解验证 竖直方向：v_y² = 2gh = 400，所以 v_y = 20 m/s 水平方向：v_x = v₀ = 10 m/s 合速度：v = √(v_x² + v_y²) = √(100 + 400) = √500 ≈ 22.4 m/s

    两种方法结果一致。

    答：落地速度大小约为22.4 m/s。

  3. 如图所示，质量m = 2 kg的物体从光滑斜面顶端由静止滑下，斜面高h = 5 m，长L = 10 m，不计空气阻力，g = 10 m/s²。求：物体滑到斜面底端时的速度大小。

    查看解答

    方法一：动能定理 斜面光滑，只有重力做功，支持力不做功。 W_G = mgh 初动能 E_k₁ = 0 末动能 E_k₂ = (1/2)mv²

    由动能定理： mgh = (1/2)mv² - 0v² = 2gh = 2 × 10 × 5 = 100v = 10 m/s

    方法二：牛顿第二定律 + 运动学公式验证 沿斜面方向合力 mg sinθ = masinθ = h / L = 5 / 10 = 0.5 所以 a = g sinθ = 5 m/s² 由 v² = 2aL = 2 × 5 × 10 = 100v = 10 m/s，结果一致。

    答：滑到底端速度大小为10 m/s。

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