共点力平衡

共点力平衡的概念

平衡状态

物体处于静止或匀速直线运动的状态叫做平衡状态。

• 静止：速度 (v = 0)，加速度 (a = 0)
• 匀速直线运动：速度 (v) 恒定，加速度 (a = 0)

注意：(v = 0) 不一定是平衡状态，只有保持静止才是平衡状态。如竖直上抛到最高点时速度为零，但加速度不为零，不是平衡状态。

共点力平衡条件

共点力作用下物体的平衡条件是：合力为零，即：

F_{\text{合}} = 0

如果分解到x轴和y轴上，平衡条件可以表示为：

$\begin{cases} \sum F_x = 0 \\ \sum F_y = 0 \end{cases}$

即：x方向合力为零，y方向合力为零。

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共点力平衡的处理方法

二力平衡

物体受两个力作用而平衡时，这两个力一定大小相等、方向相反，作用在同一直线上（即二力等值、反向、共线）。

三力平衡

物体受三个力作用而平衡时：

• 任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
• 三个力的作用线必共点（可以相交于同一点，也可以相互平行）
• 利用力的矢量三角形法：三个力首尾相接一定能构成闭合三角形

多力平衡

物体受三个以上共点力作用而平衡时，一般采用正交分解法，利用平衡条件列方程求解。

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共点力平衡问题的一般步骤

1. 确定研究对象：根据问题确定要研究的物体
2. 受力分析：按重力、弹力、摩擦力、其他力的顺序，画出受力图
3. 建立坐标系：通常选加速度方向为x轴，平衡状态一般让尽可能多的力落在坐标轴上
4. 分解力：把不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴
5. 列方程：根据平衡条件（合力为零）列出方程
6. 解方程：求解未知量，必要时讨论结果

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练习题

选择题

1. 下列物体处于平衡状态的是：

   • A. 静止在桌面上的课本
   • B. 竖直上抛到最高点的小球
   • C. 匀速下降的跳伞运动员
   • D. 在弯道上匀速转弯的汽车
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   答案：A、C

   解析：平衡状态指静止或匀速直线运动，加速度必须为零。A静止，加速度为零，平衡；B最高点速度为零但加速度为g，不平衡；C匀速下降，加速度为零，平衡；D弯道转弯速度方向改变，加速度不为零，不平衡。所以选A、C。

2. 物体受三个共点力作用而平衡，已知其中两个力大小分别为5 N和8 N，则第三个力大小不可能是：

   • A. 3 N
   • B. 8 N
   • C. 13 N
   • D. 15 N
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   答案：D

   解析：物体平衡，第三个力必须与前两个力的合力大小相等、方向相反。前两个力合力范围是 (|8-5| \leq F \leq 8+5)，即 (3\ \text{N} \leq F \leq 13\ \text{N})，15 N超出范围，不可能，所以选D。

3. 用一根绳子把物体悬挂在天花板上，物体保持静止，则物体受到的力是：

   • A. 重力和绳子对物体的拉力
   • B. 重力和物体对地球的引力
   • C. 绳子的拉力和物体对绳子的拉力
   • D. 重力、绳子的拉力和天花板对绳子的拉力
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   答案：A

   解析：研究对象是物体，物体受到重力，绳子对物体的拉力，这两个力平衡。物体对地球的引力作用在地球上，不是物体受到的力；物体对绳子的拉力作用在绳子上，不是物体受到的力。所以选A。

计算题

1. 如图，物体重G = 50 N，放在水平地面上，受到一个与水平方向成37°角斜向上的拉力F = 20 N作用，物体静止不动。求物体受到地面的支持力和摩擦力大小。((\sin37^\circ=0.6)，(\cos37^\circ=0.8))

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   对物体受力分析：物体受重力G、拉力F、支持力(F_N)、静摩擦力(F_f)，四个力平衡。

   建立坐标系：水平向右为x轴，竖直向上为y轴。

   x方向平衡：(F\cos37^\circ - F_f = 0) (F_f = F\cos37^\circ = 20 \times 0.8 = 16\ \text{N})

   y方向平衡：(F_N + F\sin37^\circ - G = 0) (F_N = G - F\sin37^\circ = 50 - 20 \times 0.6 = 50 - 12 = 38\ \text{N})

   答：支持力大小为38 N，摩擦力大小为16 N。

2. 如图，质量m = 10 kg的物体放在倾角(\theta = 30^\circ)的斜面上，恰好匀速下滑。求物体与斜面间的动摩擦因数(\mu)，以及物体对斜面的压力大小。(g = 10 m/s²)

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   物体匀速下滑，处于平衡状态，合力为零。

   对物体受力分析：重力mg、支持力(F_N)、滑动摩擦力(F_f)。

   沿斜面方向平衡：(mg\sin\theta - F_f = 0) 垂直斜面方向平衡：(F_N - mg\cos\theta = 0)

   滑动摩擦力：(F_f = \mu F_N)

   代入： (mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta) 得 (\mu = \tan\theta = \tan30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58)

   支持力：(F_N = mg\cos\theta = 10 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \approx 86.6\ \text{N})

   根据牛顿第三定律，物体对斜面的压力大小等于支持力，即约为86.6 N。

   答：动摩擦因数约为0.58，压力大小约为86.6 N。

3. 如图，用两根绳子OA、OB把重为G的灯悬挂起来，OA与天花板夹角为30°，OB与天花板夹角为60°，求OA和OB绳的拉力大小。

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   结点O静止，受力平衡，受到三个力：OA拉力(F_A)、OB拉力(F_B)、竖直向下的拉力等于G。

   方法一：正交分解法 建立坐标系：水平x轴，竖直y轴。

   x方向平衡：(F_A\cos30^\circ - F_B\cos60^\circ = 0) y方向平衡：(F_A\sin30^\circ + F_B\sin60^\circ - G = 0)

   由第一个方程：(\frac{\sqrt{3}}{2}F_A - \frac{1}{2}F_B = 0)，得 (F_B = \sqrt{3}F_A)

   代入第二个方程： (\frac{1}{2}F_A + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}F_A = G) (\frac{1}{2}F_A + \frac{3}{2}F_A = G) (2F_A = G)，得 (F_A = \frac{G}{2})

   (F_B = \sqrt{3} \cdot \frac{G}{2} = \frac{\sqrt{3}G}{2})

   方法二：矢量三角形法 三个力平衡构成闭合直角三角形（30°-60°-90°），直接得到： (F_A = G\sin30^\circ = \frac{G}{2}) (F_B = G\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}G}{2})

   答：OA拉力为(\frac{G}{2})，OB拉力为(\frac{\sqrt{3}G}{2})。

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相关知识点

• 重力 弹力 摩擦力
• 力的合成与分解
• 初中 - 运动和力