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匀变速直线运动
基本概念
匀变速直线运动
沿着一条直线，且加速度保持不变的运动叫做匀变速直线运动。
特点：
- 轨迹是直线
- 加速度恒定不变（加速度的大小和方向都不变）
- 速度均匀变化，即在相等时间内速度的变化量相等
分类：
- 匀加速直线运动：加速度方向与速度方向相同，速度逐渐增大
- 匀减速直线运动：加速度方向与速度方向相反，速度逐渐减小
匀变速直线运动的基本公式
速度公式
v = v₀ + at
v₀：初速度v：t时刻的瞬时速度a：加速度（恒定）
位移公式
x = v₀t + ½at²
速度-位移关系式
v² - v₀² = 2ax
平均速度求位移
x = v̄t = (v₀ + v)/2 · t
这个公式只适用于匀变速直线运动，它表明匀变速直线运动的平均速度等于初速度与末速度的平均值。
几个重要推论
1. 连续相等时间内的位移差
Δx = aT²
即：在连续相等的时间T内，位移差是恒定的，等于加速度与时间平方的乘积。
推广：xₘ - xₙ = (m - n)aT²
这个推论常用于判断匀变速直线运动和求加速度。
2. 中间时刻的瞬时速度
v_{t/2} = (v₀ + v)/2 = v̄
即：一段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。
3. 中间位置的瞬时速度
v_{x/2} = √[(v₀² + v²)/2]
可以证明：无论匀加速还是匀减速，都有 v_{x/2} > v_{t/2}（中间位置速度大于中间时刻速度）
初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律
设加速度为a，从t=0开始：
1T末、2T末、3T末...瞬时速度之比：
v₁ : v₂ : v₃ : ... : vₙ = 1 : 2 : 3 : ... : n第一个T内、第二个T内、第三个T内...位移之比：
x₁ : x₂ : x₃ : ... : xₙ = 1 : 3 : 5 : ... : (2n-1)前1T内、前2T内、前3T内...位移之比：
x₁ : x₂ : x₃ : ... : xₙ = 1² : 2² : 3² : ... : n²通过连续相等位移所用时间之比：
t₁ : t₂ : t₃ : ... : tₙ = 1 : (√2-1) : (√3-√2) : ... : (√n - √(n-1))
自由落体运动
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫做自由落体运动。
特点：
- 初速度
v₀ = 0 - 加速度
a = g（重力加速度，方向竖直向下） - 一般取值
g = 9.8 m/s²，粗略计算取g = 10 m/s²
公式：
v = gth = ½gt²v² = 2gh
竖直上抛运动
将物体以一定的初速度竖直向上抛出，物体只在重力作用下的运动。
特点：加速度始终为g，方向竖直向下，是匀变速直线运动。
两种处理方法：
分段法：
- 上升阶段：匀减速直线运动，
a = -g（以初速度方向为正方向） - 下降阶段：自由落体运动，加速度为g
- 上升阶段：匀减速直线运动，
整体法：
- 全过程看成匀变速直线运动，加速度恒定为-g（初速度向上为正）
- 公式：
v = v₀ - gt，h = v₀t - ½gt²
结果说明：
v > 0表示物体在上升阶段，v < 0表示物体在下降阶段h > 0表示物体在抛出点上方，h < 0表示物体在抛出点下方
重要结论：
- 上升时间：
t = v₀ / g - 上升最大高度：
H = v₀² / (2g) - 物体从抛出到落回原抛出点，总时间
t = 2v₀ / g - 落回抛出点时速度
v = -v₀（大小相等，方向相反）
练习题
选择题
一物体做匀加速直线运动，初速度v₀ = 2 m/s，加速度a = 0.5 m/s²，则第3 s末的速度是：
- A. 3 m/s
- B. 3.5 m/s
- C. 4 m/s
- D. 4.5 m/s
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答案：B解析：由速度公式
v = v₀ + at = 2 + 0.5 × 3 = 3.5 m/s汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止，已知刹车过程中汽车的加速度大小是2 m/s²，则刹车后1 s末、2 s末、3 s末的速度比是：
- A. 3 : 2 : 1
- B. 2 : 1 : 0
- C. 1 : 1 : 0
- D. 5 : 3 : 1
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答案：A解析：初速度
v₀ = at总 = 2 × 3 = 6 m/s- 1 s末：
v₁ = v₀ - at₁ = 6 - 2 × 1 = 4 m/s - 2 s末：
v₂ = v₀ - at₂ = 6 - 2 × 2 = 2 m/s - 3 s末：
v₃ = 0 m/s
所以
v₁ : v₂ : v₃ = 4 : 2 : 0 = 2 : 1 : 0？不对，让我再算一遍。等等，题目说"经3秒后停止"，初速度v₀ = 6 m/s。那1s末速度是4，2s末是2，3s末是0，比值是4:2:0 = 2:1:0，所以正确答案是B。
正确答案：B
计算题
一物体做匀加速直线运动，初速度为2 m/s，加速度为1 m/s²。求： (1) 物体在3 s内的位移； (2) 物体在第3 s内的位移。
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已知：
v₀ = 2 m/s，a = 1 m/s²(1) 3 s内的位移
x₃ = v₀t + ½at² = 2 × 3 + ½ × 1 × 3² = 6 + 4.5 = 10.5 m(2) 第3 s内的位移 = 3 s内位移 - 2 s内位移
x₂ = v₀t₂ + ½at₂² = 2 × 2 + ½ × 1 × 2² = 4 + 2 = 6 m第3 s内位移 Δx = x₃ - x₂ = 10.5 - 6 = 4.5 m答：(1) 3 s内位移为10.5 m；(2) 第3 s内位移为4.5 m。
从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g = 10 m/s²，求： (1) 经过多长时间落到地面？ (2) 自开始下落计时，第1 s内的位移和最后1 s内的位移； (3) 下落时间为总时间一半时的位移。
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已知：
h = 500 m，g = 10 m/s²(1) 下落时间 由
h = ½gt²得：t = √(2h/g) = √(2 × 500 / 10) = √100 = 10 s(2) 第1 s内位移
h₁ = ½gt₁² = ½ × 10 × 1² = 5 m前9 s内位移：
h₉ = ½gt₉² = ½ × 10 × 9² = 5 × 81 = 405 m最后1 s内位移：
Δh = h - h₉ = 500 - 405 = 95 m(3) 总时间一半 t' = 5 s
h₅ = ½gt'² = ½ × 10 × 5² = 5 × 25 = 125 m答：(1) 经过10 s落到地面；(2) 第1 s内位移5 m，最后1 s内位移95 m；(3) 一半时间位移为125 m。
竖直上抛一物体，初速度为30 m/s，取g = 10 m/s²，求： (1) 物体上升的最大高度； (2) 物体从抛出到落回抛出点所用的总时间； (3) 物体抛出后经4 s的位置和此时的速度。
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已知：
v₀ = 30 m/s，g = 10 m/s²，取向上为正方向，则a = -g = -10 m/s²(1) 最大高度 上升到最高点时速度v = 0，由
v² - v₀² = 2ax得：H = (v² - v₀²) / (2a) = (0 - 30²) / (2 × (-10)) = (-900) / (-20) = 45 m(2) 总时间 上升时间：
t₁ = (v - v₀)/a = (0 - 30)/(-10) = 3 s由对称性，下落时间t₂ = t₁ = 3 s总时间t = t₁ + t₂ = 6 s(3) 4 s后的位置和速度 位置（位移）：
h = v₀t + ½at² = 30 × 4 + ½ × (-10) × 4² = 120 - 5 × 16 = 120 - 80 = 40 mh = 40 m > 0，说明物体在抛出点上方40 m处。
速度：
v = v₀ + at = 30 + (-10) × 4 = -10 m/s负号表示速度方向向下。
答：(1) 最大高度为45 m；(2) 总时间为6 s；(3) 4 s后物体在抛出点上方40 m处，速度大小为10 m/s，方向向下。
一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，分别通过位移x₁ = 24 m和x₂ = 64 m，时间间隔T = 4 s，求初速度和加速度。
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方法一：利用推论Δx = aT²
Δx = x₂ - x₁ = aT²a = (x₂ - x₁) / T² = (64 - 24) / 4² = 40 / 16 = 2.5 m/s²由x₁ = v₀T + ½aT² 得：
24 = v₀ × 4 + ½ × 2.5 × 4²24 = 4v₀ + 0.5 × 2.5 × 1624 = 4v₀ + 204v₀ = 4v₀ = 1 m/s方法二：利用中间时刻瞬时速度等于平均速度 第一个T内平均速度
v̄₁ = x₁/T = 24/4 = 6 m/s第二个T内平均速度v̄₂ = x₂/T = 64/4 = 16 m/s这两个平均速度分别等于两个T中间时刻的瞬时速度，两个中间时刻间隔T = 4 s，所以：
a = (v̄₂ - v̄₁)/T = (16 - 6)/4 = 10/4 = 2.5 m/s²设从开始到第一个中间时刻时间为T/2，则：
v̄₁ = v₀ + a(T/2)6 = v₀ + 2.5 × 26 = v₀ + 5v₀ = 1 m/s两种方法得到相同结果。
答：初速度为1 m/s，加速度为2.5 m/s²。